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Cerco l'invariante: il peso delle monete
Numerando i posti da $0$ a $n-1$ partendo da Maria in senso orario il peso di una moneta è il numero associato al posto in cui si trova.
Il peso totale non cambia (modulo $n$) facendo la mossa, infatti se una moneta scende di 1 un'altra aumenta di 1 (caso particolare se passo dal vertice $0$ al vertice $n-1$, in cui il peso aumenta di $n$).
Scrivo il valore del peso delle monete all'inizio e alla fine: $P_i=0\cdot n=0$ e $P_f=1+2+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$ e li impongo uguali modulo $n$
Il peso finale è congruo a zero se e solo se $\frac{n-1}{2}$ è intero quindi per $n$ dispari.

Prendo in esame una serie di posti consecutivi tali che il posto centrale ha tante medaglie, $k$ posti a destra e a sinistra hanno una sola medaglia e tutti gli altri non hanno medaglie.
Voglio dimostrare che è possibile riottenere la stessa configurazione con due medaglie in meno nel vertice centrale e con $k+1$ al posto di $k$.

COMBO 1: dalla situazione sopra descritta scambia lo zero e l'uno vicini (es ...-1-1-0-0-0... diventa ...-1-0-1-0-0-...) e funziona così:
Applico la mossa al posto centrale in modo tale da avere nei posti laterali due medaglie, poi applico la mossa sui posti laterali e ottengo un posto vuoto seguito da uno da due monete. Riapplicando la mossa sulla pila da due ho l'effetto di spostare la serie 0-2 sempre più ai lati fino all'ultimo posto, rimane ai lati la sequenza ...-1-1-0-1con l'ultimo uno nella posizione $k+1$.

COMBO 2: Dalla situazione sopra citata applico $k$ volte la combo 1 scambiando due zeri con gli uno più interni fino a quando i due zeri non sono vicini al posto centrale (0-0-1-1..-1-0-M-0-1-...-1-1-0-0). Infine applico la mossa al posto centrale e ottengo la situazione iniziale con $k+1$ al posto di $k$.

Nella nostra tavola di $n=2a+1$ persone prendo come posto centrale quello di Maria e applicando la combo 2 $a$ volte (la prima con $k=0$ poi con $k=1$ e così via) riesco a distribuire una medaglia per persona (eccetto a Maria). Quante medaglie rimangono a Maria? dato che $2a$ medaglie sono in giro allora le rimane una sola medaglia.