Il caso al teatro

[minima.distanza]

posto qui un problema che mi è stato posto da un mio amico, che non richiede soluzione numerica a causa della laboriosità dei conti, ma l'impostazione è sufficente ( se qualcuno trova un metodo per svolgere tutti i calcoli, lo posti pure...). Io l'ho risolto credo, ma non so se correttamente.

Un teatro ha 200 posti che sono tutti prenotati.Gli spettatori entrano in fila e il primo si siede in un posto a caso. Gli altri, entrando sempre uno dopo l'altro, si siedono ai loro posti finchè non arriva il possessore del posto "rubato" dal primo ( sempre che il primo abbia rubato il posto a qualcuno...) che si va a sedere in un posto a caso. Tutti quelli che vengono dopo lo spettatore defraudato del suo posto, si siedono a casaccio. Determinare qual'è la probabilità che l'ultimo entrato si sieda al suo posto.

Spero di essere stato chiaro, buon lavoro

[karlosson_sul_tetto]

posto qui un problema che mi è stato posto da un mio amico, che non richiede soluzione numerica a causa della laboriosità dei conti, ma l'impostazione è sufficente ( se qualcuno trova un metodo per svolgere tutti i calcoli, lo posti pure...). Io l'ho risolto credo, ma non so se correttamente.

Un teatro ha 200 posti che sono tutti prenotati.Gli spettatori entrano in fila e il primo si siede in un posto a caso. Gli altri, entrando sempre uno dopo l'altro, si siedono ai loro posti finchè non arriva il possessore del posto "rubato" dal primo ( sempre che il primo abbia rubato il posto a qualcuno...) che si va a sedere in un posto a caso. Tutti quelli che vengono dopo lo spettatore defraudato del suo posto, si siedono a casaccio. Determinare qual'è la probabilità che l'ultimo entrato si sieda al suo posto.

Spero di essere stato chiaro, buon lavoro

Piccola domanda: dopo quello a cui hanno "rubato" il posto, ognuno ch viene si siede al suo posto, se è libero, oppure siede a casaccio?

[minima.distanza]

Dopo che viene quello a cui è stato rubato il posto dal primo arrivato ( che si siede a caso), tutti si siedono a caso. Compreso quello a cui hanno rubato il posto

[karlosson_sul_tetto]

Dopo che viene quello a cui è stato rubato il posto dal primo arrivato ( che si siede a caso), tutti si siedono a caso. Compreso quello a cui hanno rubato il posto

Ok, grazie

[karlosson_sul_tetto]

Dato che nessuno risponde, faccio un misero tentativo:

Prima poniao il caso che il possessore del posto rubato(chiamiamolo: PI) sia l'ultimo. Quindi la probabilità è zero.
Se il PI è il penultimo, la probabilità è 1/2.
Se il PI è il terz'ultimo, la probabilità è 2/3 x 1/2= 1/3.
Se il PI è il quart''ultimo, la probabilità è 3/4x2/3 x 1/2= 1/4.
E cosi via.
Se invece, il primo si siede al suo posto(con una probabilità di 1/200) allora la probabilità che l'ultimo si sieda al suo posto è 1. 1x 1/200= 1/200
Si ha quindi una successione numerica:
1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/198+1/199+1/200

E sbagliata, vero?

[minima.distanza]

Prima poniao il caso che il possessore del posto rubato(chiamiamolo: PI) sia l'ultimo. Quindi la probabilità è zero.
Se il PI è il penultimo, la probabilità è 1/2.
Se il PI è il terz'ultimo, la probabilità è 2/3 x 1/2= 1/3.
Se il PI è il quart''ultimo, la probabilità è 3/4x2/3 x 1/2= 1/4.
E cosi via.
Se invece, il primo si siede al suo posto(con una probabilità di 1/200) allora la probabilità che l'ultimo si sieda al suo posto è 1. 1x 1/200= 1/200
Si ha quindi una successione numerica:
1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/198+1/199+1/200

ehm... devo pensarci lo avevo risolto, ma ho perso il foglio con la soluzione che avevo fatto, che pensavo di avere sottomano... Se intanto qualcuno vuole controllare o confermare, non è che sia bravissimo in questo tipo di problemi...

[karlosson_sul_tetto]

ehm... devo pensarci lo avevo risolto, ma ho perso il foglio con la soluzione che avevo fatto, che pensavo di avere sottomano... Se intanto qualcuno vuole controllare o confermare, non è che sia bravissimo in questo tipo di problemi...

Mio fratello mi aveva detto che il risultato era 1/2, ma a me il risultato è maggiore di 1, quindi sicuramente avrò sbagliato qualcosa

[<enigma>]

Hint: una piccola induzione è sufficiente. Ecco il perché dell'$ \frac 1 2 $.

[karlosson_sul_tetto]

Hint: una piccola induzione è sufficiente. Ecco il perché dell'$ \frac 1 2 $.

Chiamami idiota, ma non ho capito l'hint

[Claudio.]

Il possessore del posto rubato può trovarsi in qualsiasi posizione tranne che primo, con la stessa probabilità, quindi la probabilità che si trovi in una qualsiasi posizione è $ \frac1{199} $.
Adesso se è secondo abbiamo che tutti si siedono a caso, la probabilità che la poltrona dell'ultimo venga lasciata libera è uguale alla probabilità che qualsiasi altra poltrona(che adesso sono 199) venga lasciata libera quindi $ \frac1{199} $, se è terzo la probabilità dovrebbe essere $ \frac1{198} $ e così via fino a $ \frac12 $.
Quindi la probabilità dovrebbe essere $ \displaystyle \frac1{199}\sum_{k=2}^{199}{\frac1k} $
Dove sbaglio?

[karlosson_sul_tetto]

Il possessore del posto rubato può trovarsi in qualsiasi posizione tranne che primo, con la stessa probabilità, quindi la probabilità che si trovi in una qualsiasi posizione è $ \frac1{199} $.
Adesso se è secondo abbiamo che tutti si siedono a caso, la probabilità che la poltrona dell'ultimo venga lasciata libera è uguale alla probabilità che qualsiasi altra poltrona(che adesso sono 199) venga lasciata libera quindi $ \frac1{199} $, se è terzo la probabilità dovrebbe essere $ \frac1{198} $ e così via fino a $ \frac12 $.
Quindi la probabilità dovrebbe essere $ \displaystyle \frac1{199}\sum_{k=2}^{199}{\frac1k} $
Dove sbaglio?

Infatti ci viene la stessa cosa, ma si deve contare ache ill caso in cui il primosi sieda al suo posto ($ \frac{1}{200} $).

[Claudio.]

Si, tu avevi dimenticato di dividere; quindi dovrebbe essere $ \displaystyle \frac1{200}\sum_{k=1}^{199}{\frac1k} $, ma non è corretto...

[karlosson_sul_tetto]

Si, tu avevi dimenticato di dividere

Scusa la mia ignoranza, ma perché si dovrebbe dividere?

[Claudio.]

Perchè è la somma di tutte le probabilità. Adesso la probabilità che l'ultimo prenda il suo posto quando il possessore del posto rubato è secondo, è uguale alla probabilità che il possessore sia secondo per la probabilità che dopo che questo accade l'ultimo prenda il suo posto, quindi 1/200·1/199, quel 1/200 ci sarà per tutti i casi, quindi lo metti in evidenza.
Quando dividi i casi, e calcoli la probabilità per un determinato caso, poi in generale devi moltiplicare per la probabilità che quel caso accada.
Poi come hai detto tu, la tua probbilità è maggiore di 1....quindi hai dimenticato necessariamente qualcosa, e intuitivamente bisogna dividere per qualcosa ^^
Comunque qualcuno ci corregga!

[HarryPotter]

Vi comunico che, dalla riapertura del forum, è possibile nascondere le soluzioni in questo modo:

Testo nascosto:

Asino chi legge!

Pertanto non è più necessario colorare in bianco, grigino o azzurrino le soluzioni. Per farlo basta usare [ hide]testo da nascondere[ /hide] (senza spazio). Trovate il tasto hide nell'editor del messaggio tra i tasti "Font colour" e "tex".

Ora potete esultare per il progresso tecnologico e ringraziare fph.