Triangolo di numeri

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Euler
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Triangolo di numeri

Messaggio da Euler » 24 apr 2010, 22:53

C'è un triangolo con questi numeri:
---------------- 0
------------- 1 -- 1
---------- 2 -- 2 -- 2
------- 3 -- 4-- 4 -- 3
---- 4 -- 7 -- 8 -- 7 -- 4
-5 -- 11-- 15 -- 15 --11 -- 5
con ogni numero che è la somma dei due che sono sopra. Definendo f(n) la somma dei numeri della riga che inizia con il numero n, quali sono le ultime 2 cifre di f(100)?
cogito ergo demonstro

Dani92
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Messaggio da Dani92 » 25 apr 2010, 14:25

A me pare un esercizio di algebra/tdn! :D

Si vede facilmente che chiamata $ \displaystyle S_n $ la somma dei valori della riga che inizia per $ \displaystyle n $, vale la successione per ricorrenza da un termine $ S_n=2S_{n-1}+2 $

Si risolve e si trova che $ S_n=2^{n+1}-2 $ e in particolare $ S_{100}=2^{101}-2 $

Le ultime 2 cifre le trovo mod100 e sono 74 (se non ho sbagliato a far conti)!

Spammowarrior
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Messaggio da Spammowarrior » 25 apr 2010, 15:07

sì, hai sbagliato i conti ;)
la calcolatrice mi dice che 2^101 - 2 = 2535301200456458802993406410750

senza barare si calcola così:
$ 2^{100}=1024^{10} \equiv 24^{10} \pmod {100} $
$ 24^{10} \equiv 76^{5} \pmod {100} $

noto che le ultime due cifre di 76*76 sono 76, quindi le ultime due cifre di 76^n sono 76.

moltiplico per due e ottengo 52 mod 100, sottraggo due e ho 50 ;)

Euler
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Messaggio da Euler » 25 apr 2010, 16:35

Sì il risultato è giusto...l'ho messo in combinatoria perchè non mi sembrava nè algebra nè tdn, comunque si può spostare 8)
cogito ergo demonstro

Dani92
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Messaggio da Dani92 » 25 apr 2010, 16:50

Spammowarrior ha scritto:sì, hai sbagliato i conti ;)
la calcolatrice mi dice che 2^101 - 2 = 2535301200456458802993406410750

senza barare si calcola così:
$ 2^{100}=1024^{10} \equiv 24^{10} \pmod {100} $
$ 24^{10} \equiv 76^{5} \pmod {100} $

noto che le ultime due cifre di 76*76 sono 76, quindi le ultime due cifre di 76^n sono 76.

moltiplico per due e ottengo 52 mod 100, sottraggo due e ho 50 ;)
Giustamento, ho fatto $ 2^{100} $ invece che $ 2^{101} $ pechè mi pareva più un bel numero... :lol:

Ma scusa la domanda, che calcolatrice hai che ti tiene 31 cifre? :shock:

P.S.: con induzione era più facile e non serviva neanche la successione.. quindi poteva essere puro tdn! :)

Euler
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Messaggio da Euler » 25 apr 2010, 16:55

C'è quella di Windows (START->tutti i programmi->accessori->calcolatrice), che ne ha 32 :D
cogito ergo demonstro

trugruo
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Messaggio da trugruo » 25 apr 2010, 16:57

dani92 forse non conosci wolfram alpha :lol: :lol: :lol: :lol:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=35^400&t=ff3tb01

prova a premere more digits e ti visualizza anche tutte e 618 cifre
fa anche calcoli molto più pesanti :lol: :lol: :lol:

Dani92
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Messaggio da Dani92 » 25 apr 2010, 17:06

No infatti non la conoscevo! :)

Non ne esiste un formato tascabile da gara? :lol:

Spammowarrior
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Messaggio da Spammowarrior » 25 apr 2010, 17:09

evidentemente qui nessuno conosce la calcolatrice di linux, che oltre a tenere uno sfracello di cifre, ha anche funzioni tipo il bit-wise xor :P

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<enigma>
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Messaggio da <enigma> » 25 apr 2010, 17:19

Spammowarrior ha scritto:evidentemente qui nessuno conosce la calcolatrice di linux, che oltre a tenere uno sfracello di cifre, ha anche funzioni tipo il bit-wise xor :P
Quanto intendi per "uno sfracello di cifre"?
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)

Spammowarrior
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Messaggio da Spammowarrior » 25 apr 2010, 17:34

precisamente non lo so, perchè si comporta in maniera un po' strana: certi risultati piccoli me li mette in notazione scientifica (anche se hanno magari solo 150 cifre, come 100!) altri me li scrive tutti con 200 e passa cifre (per esempio, mi scrive giusto 2^730 o 3^600, che ha 280 cifre)

come cifre dopo la virgola ne mostra fino a 99, credo.

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<enigma>
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Messaggio da <enigma> » 25 apr 2010, 18:04

Comunque questo li batte tutti :D (guardate anche solo il calcolatore online a fondo pagina e ve ne accorgerete!).
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)

Dani92
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Messaggio da Dani92 » 25 apr 2010, 18:49

Oh cavolo! :shock: questo mi fa già anche la congruenza, non ci credo! :lol:

Bello! :wink:

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