Problema "problematico"

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attwo
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Problema "problematico"

Messaggio da attwo » 24 apr 2010, 16:03

Un problema che inizialmente avevo catalogato come un semplice esercizio di combinatoria, ma che si è rivelato più interessante del previsto. Tuttora la soluzione che ho trovato non è del tutto soddisfacente. Mi serve il vostro aiuto.

Ho un mazzo di 40 carte (quattro assi, quattro due, ..., quattro dieci), giro una carta per volta e contemporaneamente conto le carte girate. Se l' n-esima carta è un n, allora ho perso. Dopo aver contato dieci carte, ricomincio da uno. La partita è vinta se giro tutte le carte del mazzo.

Ad esempio:
Giro un 7 (1)
Giro un 4 (2)
...
Giro un 6 (10)
Giro un asso (1) - partita persa

Qual'è la probabilità di vincere?
È possibile trovare una formula che generalizzi il problema ad un qualsiasi mazzo di carte, non necessariamente regolare?

p.s; Elencare tutte le possibili permutazioni del mazzo è inutile. Tanto per scoraggiare eventuali tentativi, dico subito che sono 1.29*10^(34) , anche se riusciste a scrivere 1 permutazione al secondo impieghereste circa 400 miliardi di triliardi di anni :D.

Ringrazio anticipatamente chiunque voglia dare il suo contributo.

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 24 apr 2010, 16:51

Uhm... a suo tempo ho dato una soluzione delirante, ad una versione facilitatadi questo problema.
Eccoti il link:
viewtopic.php?t=13431

p.s. questo non esclude che esista una soluzione che non richieda tutta quella brutta notazione e quei contazzi ;)
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attwo
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Messaggio da attwo » 24 apr 2010, 18:24

Molto interessante, anche se vedo difficile generalizzare la formula.

Tanto per fare quello che è sempre d'accordo con tutti, ho seguito la strada diametralmente opposta :D, mi è sembrato più semplice calcolare le permutazioni che NON vanno bene e sottrarle dal valore totale. Riporto in sintesi il mio ragionamento, nel caso semplificato di un insieme di n carte distinte:

Sia S(n) l'insieme delle soluzioni valide per n elementi. Le soluzioni che hanno k elementi (e SOLO k) in un posto che "non va bene" sono:

$ ( ( n ),( k ) ) * S(n-k) $

iterando lo stesso ragionamento da 1 a n e sottraendo il tutto da n! si ha la soluzione. Lo avrei messo sotto forma di sommatoria ma non so usare il latex :oops: .

Lo stesso ragionamento (ridurre il problema ad un caso più semplice, che posso supporre di aver già risolto) si applica per insiemi irregolari, ma la formula diventa spaventosamente lunga.

Grazie mille!

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