calcola in quanti modi si possono sistemare 8 oggetti distinti in 6 scatole diverse sapendo che in ogni scatola vi deve essere almeno un oggetto?
Io credo che sia 8*7*6*5*4*3*6^2 ovvero le disposizioni semplici di 8 a 6 moltiplicate per le disposizioni con ripetizione di 6 a 2.
In un testo ho trovato come risultato 191520
disposizioni?
191520 è il risultato esatto.
Suddividiamo in due casi:
a- C'è una scatola che contiene 3 oggetti, tutte le altre ne contengono 1. I modi in cui si può ottenere questa posizione sono $ $ \frac {6*8!}{3!} $. (6 sono i modi di scegliere la scatola da tre, il /3! c'è perchè non conta l'ordine in cui sono messi gli oggetti dentro la scatola da tre)
b-Ci sono due scatole che contengono due oggetti. I modi in cui si può ottenere questa posizione sono: $ $ \frac {6*5/2*8!}{2!*2!} $ (dove 6*5/2 è il numero di modi con cui puoi scegliere come mettere le due scatole da 2, mentre 2!*2! c'è perchè non si contano i modi di mettere gli oggetti dentro ad esse)
Sommi le due cose e viene giusto.
Lascio a chi è più bravo di me eventuali generalizzazioni
Suddividiamo in due casi:
a- C'è una scatola che contiene 3 oggetti, tutte le altre ne contengono 1. I modi in cui si può ottenere questa posizione sono $ $ \frac {6*8!}{3!} $. (6 sono i modi di scegliere la scatola da tre, il /3! c'è perchè non conta l'ordine in cui sono messi gli oggetti dentro la scatola da tre)
b-Ci sono due scatole che contengono due oggetti. I modi in cui si può ottenere questa posizione sono: $ $ \frac {6*5/2*8!}{2!*2!} $ (dove 6*5/2 è il numero di modi con cui puoi scegliere come mettere le due scatole da 2, mentre 2!*2! c'è perchè non si contano i modi di mettere gli oggetti dentro ad esse)
Sommi le due cose e viene giusto.
Lascio a chi è più bravo di me eventuali generalizzazioni