Probabilità e compleanni

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Euler
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Probabilità e compleanni

Messaggio da Euler » 26 mar 2010, 18:57

Qual è la probabilità che in una stanza di 30 persone almeno 2 compiono gli anni lo stesso giorno? :roll:
cogito ergo demonstro

cromat
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Messaggio da cromat » 26 mar 2010, 20:28

calcolo la possibilità che compiano tutti gli anni in giorni diversi e poi faccio il complementare.
Casi totali: $ {365}^{30} $
Compleanni tutti in giorni diversi: $ \frac{365!}{335!} $

P(almeno 2 compleanni stesso giorno): $ \frac{{365}^{30} - {\frac{365!}{335!}}}{{365}^{30}} $

mi sono scordato qualcosa?

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Clara
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Messaggio da Clara » 26 mar 2010, 20:34

cromat ha scritto: Compleanni tutti in giorni diversi: $ \frac{365!}{335!} $
Perché? :roll:
cromat ha scritto: mi sono scordato qualcosa?
Forse i bisestili... :?
Someone, somewhere, is always doing something someone else said was impossible.

Il pi greco è il George Clooney della matematica.

La bellezza di un esercizio è inversamente proporzionale al rapporto tra la sua difficoltà e la semplicità con cui è posto.

amatrix92
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Messaggio da amatrix92 » 26 mar 2010, 20:34

voglio vedere in una gara come ti calcoli quel mostro a mano :)
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

cromat
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Messaggio da cromat » 26 mar 2010, 20:40

Clara ha scritto:
cromat ha scritto: Compleanni tutti in giorni diversi: $ \frac{365!}{335!} $
Perché? :roll:
cromat ha scritto: mi sono scordato qualcosa?
Forse i bisestili... :?
li conoscevo i 30 e nessuno era nato in un bisestile :D :D

per la prob. io avevo pensato il primo lo posso scegliere in 365 modi il secondo in 364 e cosi via... come delle semplici disposizioni... no??

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Clara
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Messaggio da Clara » 26 mar 2010, 20:42

Giàgiàgiàgià, hai ragione!
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Il pi greco è il George Clooney della matematica.

La bellezza di un esercizio è inversamente proporzionale al rapporto tra la sua difficoltà e la semplicità con cui è posto.

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<enigma>
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Il paradosso del compleanno... ancora lui!

Messaggio da <enigma> » 26 mar 2010, 21:14

La probabilità che nessuno abbia un compleanno nello stesso giorno sarà, come avete detto, data dalla semplice formula
$ \displaystyle \prod_{i=1}^{29}\left ( 1-\frac{i}{365} \right ) $
(sempre che non contiamo gli anni bisestili), cioè approssimativamente 0,29 probabilità su 1. Quindi ti conviene scommettere che almeno due abbiano il compleanno nello stesso giorno, perché hai un 71% di probabilità di vincita... se ti interessasse anche approfondire questo, vai su http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem.
Edit: un attimo... se con 23 persone la probabilità di avere due persone che compiono gli anni nello stesso giorno è poco superiore al 50% con 30 persone sarà di molto superiore, o sono io che sono più scemo del solito?
Ultima modifica di <enigma> il 25 apr 2010, 16:48, modificato 4 volte in totale.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)

Euler
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Messaggio da Euler » 27 mar 2010, 14:36

Io l'ho visto in un altro modo:
ho considerato tutte le coppie possibili, che sono la somma di 29,28...1 , cioè 29*30/2=435, quindi la probabilità è 1-(364/365)^435 :)
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frank nico
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Re: Il paradosso del compleanno... ancora lui!

Messaggio da frank nico » 27 mar 2010, 16:38

<enigma> ha scritto:La probabilità sarà, come avete detto, data dalla semplice formula
$ \prod_{i=1}^{29}\left ( 1-\frac{i}{365} \right ) $
(sempre che non contiamo gli anni bisestili), cioè approssimativamente 0,71 probabilità su 1. Quindi ti conviene scommettere che almeno due abbiano il compleanno nello stesso giorno... se ti interessasse anche approfondire questo, vai su http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem.
La tua risposta è giusta però la probabilità che trovi con questa produttoria è che nessuno faccia il compleanno nello stesso giorno. Quindi per trovare la probabilità che almeno 2 compino gli anni lo stesso giorno devi fare il complementare di quella produttoria, penso sia stata una dimenticanza.

Euler
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Messaggio da Euler » 27 mar 2010, 16:56

E' quello che ho fatto infatti puoi notare che ho sottratto quel valore da 1 :|
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Messaggio da frank nico » 27 mar 2010, 17:20

Euler ha scritto:E' quello che ho fatto infatti puoi notare che ho sottratto quel valore da 1 :|
No, non dicevo a te. Intendevo la soluzione di <enigma> :wink:

Euler
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Messaggio da Euler » 27 mar 2010, 17:22

Ah scusa. :oops: ..comunque il mio metodo è corretto?
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frank nico
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Messaggio da frank nico » 27 mar 2010, 18:12

Euler ha scritto:Ah scusa. :oops: ..comunque il mio metodo è corretto?
A dire il vero non è proprio corretto. Però si avvicina molto alla probabilità cercata. L'errore sta nel fatto che i 435 eventi che consideri tu non sono totalmente indipendenti, quindi non puoi moltiplicare le loro probabilità pari a 364/365. Ti faccio un esempio semplice: se fossero soltanto 3 persone la verà probabilità cercata sarebbe 1- (365/365*364/365*363/365)=1-(365*364*363)/365^3. Utilizzando il tuo metodo invece viene 1-(364/365)^3=1-364^3/365^3. Come puoi notare la differenza che si riscontra tra le due formule è che nella prima compare il prodotto 365*364*363, mentre nella seconda la potenza 364^3. Questi due valori si avvicinano molto tra loro ma concettualmente sono diversi. I tuoi eventi non sono indipendenti, ti spiego il perchè rimanendo nel nostro esempio. Chiamiamo le tre persone A B e C. Le coppie possibili sono (A,B) (B,C) (A,C). La probabilità che A e B facciano il compleanno in giorni diversi è 364/365 come hai detto tu. La probabilità che B e C facciano il compleanno in giorni diversi è sempre 364/365 come hai detto tu. Ora la probabilità che A e C facciano il compleanno in giorni diversi non rimane la stessa, ma viene condizionata dal fatto che sia A e sia C fanno il compleanno in un giorno che è diverso da quello di B, dunque la probabilità non è più 364/365 ma 363/364. Ciò avviene perchè gli eventi da te scelti non sono indipendenti. Non so se sono stato chiaro nella spiegazione

Euler
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Messaggio da Euler » 27 mar 2010, 18:17

Sì sei stato chiarissimo, grazie per la spiegazione. :)
Non avevo considerato questa svista.
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frank nico
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Messaggio da frank nico » 27 mar 2010, 18:24

Figurati :wink: Mi fa piacere essere stato esauriente :D

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