Lavoro d'equipe

[ngshya]

Il noto archeomatematico Polinomia Jones è stato incaricato di gestire ben 8 campi di scavo archeologico in giro per il mondo. Decide allora di suddividere il lavoro tra i suoi collaboratori.
Ogni collaboratore è responsabile di 3 campi e nessuna coppia di collaboratori è responsabile di più di un campo. Qual è il numero massimo di collaboratori di cui dispone Polinomia Jones?

Gara Nazionale a Squadre 2005

Generalizzazione: Tutto uguale a prima ma Polinomia Jones ha in tutto $ $n$ $ campi di scavo, ogni collaboratore è responsabile di $ $k$ $ campi (con $ $k \le n$ $) e nessuna coppia di collaboratori è responsabile di più di $ $h$ $ campi (con $ $h<k$ $). Qual è il numero massimo $ $N$ $ di collaboratori di cui dispone Polinomia Jones?

Buon divertimento!

[amatrix92]

può essere che sia 4?

[cromat]

io per il caso particolare con 8 campi ho trovato 8 come soluzione.
Ciò perchè in ogni campo ne posso mettere al massimo 3 (per evitare che poi abbia una coppia che lavori su due campi). quindi ho al massimo 24 posti di lavoro per 8 campi. ma ogni lavoratore lavora 3 campi quindi al massimo si potranno avere 24/3 lavoratori:8.
visto che 8 si riescono a distribuire facilmente rispettando le regole concludo che il risultato per il caso specifico è 8.

[amatrix92]

no aspetta, ho perso il primo passaggio, perchè massimo 3, io sono riuscito a fare una possibile configurazione con 6 lavoratori, e quindi alcuni posti da 3 altri da 2. potresti spieare come fai a dire che i posti devono essere tutti da 3?

[cromat]

se ho capito bene il testo:
nel primo campo metto tre lavoratori (a,b,c). ora ognuno di questi deve lavorare in altri due campi. poniamo che (a) lavora nel campo 2 e 3, (b) 4 e 5 e (c) nel 6 e 7. se metto un 4° lavoratore (d) nel primo campo questo potrà lavorare nel campo 8 ma in qualsiasi altro campo troverà un lavoratore con cui ha già lavorato nel campo 1. -> in un campo di lavoro posso avere al massimo 3 lavoratori.

[amatrix92]

se ho capito bene il testo:
nel primo campo metto tre lavoratori (a,b,c). ora ognuno di questi deve lavorare in altri due campi.

io il testo lo avevo interpretato diversamente: ogni lavoratore DEVE lavorare su 3 campi, ma non è detto che in un campo ci debbano per foeza essere 3 lavoratori. L'ealtra condizione è che 2 lavoratori insisme non tengano più di un campo, in altre parole l'intersezione formata degli insiemi dei campi uno del lavoratore A e uno del lavoratore B ha un solo elemento.

[cromat]

se ho capito bene il testo:
nel primo campo metto tre lavoratori (a,b,c). ora ognuno di questi deve lavorare in altri due campi.

io il testo lo avevo interpretato diversamente: ogni lavoratore DEVE lavorare su 3 campi, ma non è detto che in un campo ci debbano per foeza essere 3 lavoratori. L'ealtra condizione è che 2 lavoratori insisme non tengano più di un campo, in altre parole l'intersezione formata degli insiemi dei campi uno del lavoratore A e uno del lavoratore B ha un solo elemento.

pure io cosi... non è obbligatorio che ce ne siano 3 in un campo. Io ho detto di partire dal primo campo e vedere quanti ne posso mettere al massimo in quel campo senza dar fastidio alla seconda condizione. e questo massimo è 3 per quanto detto sopra.. capito?

[amatrix92]

no, cioè ho capito, ma tu hai assunto l'informazione che i lavoratori per campo debbano essere 3 (che ci sta sia vera) senza dimostrarla, io posso dire, per evitare che si metta più di un campo per ogni coppia di lavoratori, posso mettere al massimo 6 lavoroatori per lo stesso campo. quindi ho al massimo 48 posti di lavoro per 8 campi. ma ogni lavoratore lavora 3 campi quindi al massimo si potranno avere 48/3 lavoratori:16.

è la stessa tua soluzione solo che ne ho cambiato un valore (è sicuramente sbaglaita) ma perchè? perchè al massimo 3 e non 6 per campo? mancava questa alla tua soluzione a mio parare.

[Gogo Livorno]

se ho capito bene il testo:
nel primo campo metto tre lavoratori (a,b,c). ora ognuno di questi deve lavorare in altri due campi. poniamo che (a) lavora nel campo 2 e 3, (b) 4 e 5 e (c) nel 6 e 7. se metto un 4° lavoratore (d) nel primo campo questo potrà lavorare nel campo 8 ma in qualsiasi altro campo troverà un lavoratore con cui ha già lavorato nel campo 1. -> in un campo di lavoro posso avere al massimo 3 lavoratori.

Pienamente d'accordo.

Se fossero 6, dato che ogni lavoratore è NECESSARIAMENTE in 3 campi, ci sarebbero delle coppie uguali per quanto riportato.

[cromat]

[amatrix92]

.. vabè la prendo per buona così, l'unica cosa era che secondo me il fatto che per ogni campo ci potevano essere massimo 3 lavoratori,non era così intuitivo ma andava dimostrato meglio; tutto qui.

[cromat]

lo dimostri dicendo che se hai 4 lavoratori in un campo poi avresti bisogno di altri 8 campi ( e ne hai 7)... se vuoi vedilo come teorema dei piccioni per dimostrare che sono al max 3

[Gogo Livorno]

.. vabè la prendo per buona così, l'unica cosa era che secondo me il fatto che per ogni campo ci potevano essere massimo 3 lavoratori,non era così intuitivo ma andava dimostrato meglio; tutto qui.

dai non dire "la prendo per buona", finchè non ti torna rompi le scatole, siamo tutti in cerca di risposte.

Ragiona:
- In un modo del tutto arbitrario, (la scegli te questa cosa, non sta scritta da nessuna parte), metti 4 lavoratori sul campo 1: A,B,C,D.
- Ora, siccome ogni lavoratore lavora su 3 campi, essi lavoreranno su altri 2 campi.
- Siccome però non ci può essere una stessa coppia su un campo diverso, quei 4 lavoratori non potranno più incontrarsi fra di loro in un campo, in quanto si sono già incontrati nel campo 1: ciò implica che la presenza di uno su un altro campo esclude la presenza di uno degli altri 3.
- Quindi: metti A nel secondo e terzo campo, B nel quarto e nel quinto, C nel sesto e nel settimo, D nell'ottavo.. e poi??? In questo momento dovunque tu metta D è in un campo con un lavoratore con cui aveva già lavorato nel campo 1.

Ergo: IMPOSSIBILE.

Ergo: Provi invece con 3, e vedi che in effetti torna.

[amatrix92]

.. vabè la prendo per buona così, l'unica cosa era che secondo me il fatto che per ogni campo ci potevano essere massimo 3 lavoratori,non era così intuitivo ma andava dimostrato meglio; tutto qui.

dai non dire "la prendo per buona", finchè non ti torna rompi le scatole, siamo tutti in cerca di risposte.

Ragiona:
- In un modo del tutto arbitrario, (la scegli te questa cosa, non sta scritta da nessuna parte), metti 4 lavoratori sul campo 1: A,B,C,D.
- Ora, siccome ogni lavoratore lavora su 3 campi, essi lavoreranno su altri 2 campi.
- Siccome però non ci può essere una stessa coppia su un campo diverso, quei 4 lavoratori non potranno più incontrarsi fra di loro in un campo, in quanto si sono già incontrati nel campo 1: ciò implica che la presenza di uno su un altro campo esclude la presenza di uno degli altri 3.
- Quindi: metti A nel secondo e terzo campo, B nel quarto e nel quinto, C nel sesto e nel settimo, D nell'ottavo.. e poi??? In questo momento dovunque tu metta D è in un campo con un lavoratore con cui aveva già lavorato nel campo 1.

Ergo: IMPOSSIBILE.

Ergo: Provi invece con 3, e vedi che in effetti torna.

è esattamente il pezzo che dicevo mancasse , grazie mille per la spiegazione