Un intero positivo si dice debolmente crescente se le sue cifre (in base 10), lette da sinistra verso destra, formano una successione debolmente crescente. Ad esempio, 13377 e 13568 sono numeri debolmente crescenti, mentre 10345 e 15466 non lo sono.
Determinare quanti sono i numeri debolmente crescenti di 5 cifre (si intende che la cifra più a sinistra non può essere 0).
è un problema dello stage senior 2008 di cui non capisco la soluzione
numeri debolmente crescenti
la butto lì: $ 5^5 $ anche se credo prorpio che da questi bisogna togliere qualcosa, però sinceramente non so calcolarvi cosa, nel senso che al primo posto posso certmente mettere 5 numeri: 1, 2 ,3 ,4 ,5; non posso mettere 6 perchè altrimenti nel migliore dei casi avrei 6789# e poi all'ultima cifra? quindi poi alla seconda cifra analogamente posso mettere 5 numeri ovvero (5+1-1) uno lo guadagno e uno lo perdo posso quindi mettere: 2,3,4,5,6; questo fino alla quinta cifra dove potrò mettere 5,6,7,8,9. sembrerebbe filare tutto lisco però non so perchè c'è qualcosa che non mi convince...
Credo tu stia sbagliano 69999 va bene e anche 66666...o sbaglio io?amatrix92 ha scritto:la butto lì: $ 5^5 $ anche se credo prorpio che da questi bisogna togliere qualcosa, però sinceramente non so calcolarvi cosa, nel senso che al primo posto posso certmente mettere 5 numeri: 1, 2 ,3 ,4 ,5; non posso mettere 6 perchè altrimenti nel migliore dei casi avrei 6789# e poi all'ultima cifra? quindi poi alla seconda cifra analogamente posso mettere 5 numeri ovvero (5+1-1) uno lo guadagno e uno lo perdo posso quindi mettere: 2,3,4,5,6; questo fino alla quinta cifra dove potrò mettere 5,6,7,8,9. sembrerebbe filare tutto lisco però non so perchè c'è qualcosa che non mi convince...
Eh questo?
Questo non va bene...
Morto...
Questo non va bene...
Morto...
Provo.
Dobbiamo scegliere 5 numeri tali che:
$ 1\leq a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4\leq a_5\leq 9 $
e se chiamiamo:
$ b_1=a_1; b_2=a_2+1; b_3=a_3+2; b_4=a_4+3; b_5=a_5+4 $
abbiamo che: $ 0<b_1<b_2<b_3<b_4<b_5<14 $
Consideriamo le partizioni in 5 elementi del numero 14, con elementi tutti diversi da 0 (perchè nei numeri che cerchiamo non ci sono zeri): in qualunque modo io scelga di fare una partizione, posso ordinare i numeri in ordine crescente in un solo modo.
Quindi il numero dei numeri che soddisfano le condizioni iniziali è uguale al numero di modi di ripartire 14 elementi in 5 gruppi non nulli.
I modi di ripartire 14 elementi in questo modo, se non ricordo male, dovrebbe essere $ \displaystyle \binom{14-1}{5-1}=\binom{13}{4} = 715 $ modi
Dai spero di aver azzeccato almeno l'idea di fondo...
Dobbiamo scegliere 5 numeri tali che:
$ 1\leq a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4\leq a_5\leq 9 $
e se chiamiamo:
$ b_1=a_1; b_2=a_2+1; b_3=a_3+2; b_4=a_4+3; b_5=a_5+4 $
abbiamo che: $ 0<b_1<b_2<b_3<b_4<b_5<14 $
Consideriamo le partizioni in 5 elementi del numero 14, con elementi tutti diversi da 0 (perchè nei numeri che cerchiamo non ci sono zeri): in qualunque modo io scelga di fare una partizione, posso ordinare i numeri in ordine crescente in un solo modo.
Quindi il numero dei numeri che soddisfano le condizioni iniziali è uguale al numero di modi di ripartire 14 elementi in 5 gruppi non nulli.
I modi di ripartire 14 elementi in questo modo, se non ricordo male, dovrebbe essere $ \displaystyle \binom{14-1}{5-1}=\binom{13}{4} = 715 $ modi
Dai spero di aver azzeccato almeno l'idea di fondo...
sì, hai ragione te scusa, ho letto male il testoRosinaldo ha scritto:Credo tu stia sbagliano 69999 va bene e anche 66666...o sbaglio io?amatrix92 ha scritto:la butto lì: $ 5^5 $ anche se credo prorpio che da questi bisogna togliere qualcosa, però sinceramente non so calcolarvi cosa, nel senso che al primo posto posso certmente mettere 5 numeri: 1, 2 ,3 ,4 ,5; non posso mettere 6 perchè altrimenti nel migliore dei casi avrei 6789# e poi all'ultima cifra? quindi poi alla seconda cifra analogamente posso mettere 5 numeri ovvero (5+1-1) uno lo guadagno e uno lo perdo posso quindi mettere: 2,3,4,5,6; questo fino alla quinta cifra dove potrò mettere 5,6,7,8,9. sembrerebbe filare tutto lisco però non so perchè c'è qualcosa che non mi convince...
Io ho sbaglaito i conti perchè non ho considerato le cifre uguali, però così facendo ho soltanto escluso soluzioni e già comunque me ne venivano 3125, quindi immagino che 715 siano un po' pochine..Iuppiter ha scritto: I modi di ripartire 14 elementi in questo modo, se non ricordo male, dovrebbe essere $ \displaystyle \binom{14-1}{5-1}=\binom{13}{4} = 715 $ modi
EDIT: mi rendo conto che ciò andrà contra l'affermazione precedente ma ho trovato come soluzione 1287 modi come somma di 495+330+210+126+70+35+15+5+1, che sono le varie possibilità (non so se giuste) mettendo come prima cifra 9-->1, 8--->5, 7--->15,6---> 35 etc.
questa è la formula per capire in quanti modi posso scrivere 14 come somma di 5 elementi... ma qui non viene posta questa condizioneIuppiter ha scritto: I modi di ripartire 14 elementi in questo modo, se non ricordo male, dovrebbe essere $ \displaystyle \binom{14-1}{5-1}=\binom{13}{4} = 715 $ modi
Io ho impostato cosi:
devo contare il numero delle possibili cinquine senza tener conto dell'ordine (x es. 12345, 54231, 34521 etc... li conto li conto una volta sola); ciò perchè per ogni cinquina cosi contata avrà una sola permutazione di questa che sia in ordine debolmente crescente (nell'es. di prima è 12345).
- non conto le cinquine che contengono lo zero perchè la permutazione affinchè sia in ordine debolmente crescente inizia per 0 e non va bene
E adesso un po di semplici calcoli:
- utilizzando una sola cifra (es.11111) ho 9 cinquine
- utilizzando due cifre trovo due sottocasi:
*(es.11112) dove ho 9*8=72 cinquine
*(es.11122) dove ho 9*8=72 cinquine
- utilizzando 3 cifre trovo due sottocasi:
*(es.11223) dove ho $ 9{\binom{8}{2}}= 252 $ cinquine
*(es.11123) dove ho $ 9{\binom{8}{2}}= 252 $ cinquine
- utilizzando quattro cifre (es.11234): $ 9{\binom{8}{3}}= 504 $ cinquine
- utilizzando cinque cifre (es.12345): $ {\binom{9}{5}}= 126 $ cinquine
quindi i numeri di cinque cifre debolmente crescenti sono 9+72+72+256+256+504+126=1287
- exodd
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combinazioni con ripetizione di 10 cifre in 5 posti: BIN(14,5)
numeri che iniziano con lo zero = combinazioni con ripetizione di 10 cifre in 4 posti: BIN(13,4)
BIN(14,5) - BIN(13,4) = BIN(13,5)
numeri che iniziano con lo zero = combinazioni con ripetizione di 10 cifre in 4 posti: BIN(13,4)
BIN(14,5) - BIN(13,4) = BIN(13,5)
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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