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Tibor Gallai
Non ho capito il senso dell'ultimo post, e i discorsi sul rispetto e il cadere le braccia.

Perché avevo, come primo approccio, ideato una dimostrazione molto più articolata (fai un po' il confronto...):

Metodo bovino.

Fissiamo N.
Probabilità che una popolazione di x amebe si estingua in futuro:
$ e(x) $.

Vale: $ e(0)=1 $.

In modo molto facile si ottiene l'equazione:
$ 4e(1) = 1+e(1)+e(2)+e(3) $,
cioè:
$ -3e(1)+e(2)+e(3) =-1 $, se $ N\geq 3 $ (altrimenti otteniamo: $ -3e(1)+2e(2) =-1 $ o $ -1e(1)=-1 $).

Analogamente si possono trovare delle equazioni del tipo:
$ a\cdot e(1) + b\cdot e(2) +...-j\cdot e(k) + ... z\cdot e(N) = -1 $.

Con tutti i coefficienti positivi o nulli tranne uno, strettamente negativo.
Vale la seguente proprietà: $ \left[ 0\right] $
la somma dei coefficienti di un'equazione qualsiasi è $ -1 < 0. $.

Inoltre la N-upla $ (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,......,1) $ è soluzione.

Basta dimostrare che è l'unica soluzione.

Non lo è se e solo se la matrice (A) dei coefficienti ha determinante uguale a zero.
Ciò si verifica se e solo se le equazioni non sono linearmente dipendenti fra loro.
Dimostriamo che è assurdo che si verifichi.

Poniamo che:
la matrice (A) abbia elementi $ a_{i,j} $, dove i coefficienti della k-esima equazione sono:
$ a_{k,1}, a_{k,2},...,a_{k,N} $.

Supponiamo che:
$ \sum_{i\in U}{0}+\sum_{i\in V}{M_i\cdot a_{i,j} - \sum_{i\in W}{M_i\cdot a_{i,j}=a_{K,j} $ ,[1]
per un certo K, per ogni j, per vari $ M_i $ strettamente positivi e con:
$ U, V, W, \{k\} $ che formano una partizione di $ \{1,...,n \} $.
In parole povere: c'è una riga di A ottenibile come combinazione lineare delle altre;
le altre si moltiplicano per numeri positivi, oppure negativi, oppure per zero.

Ora consideriamo la matrice B ottenuta da A in questo modo:
Si moltiplicano le righe i-esime per il corrispondente $ M_i $ (o $ - M_i $ o $ 0 $).
Poi si permutano le righe e colonne in modo che:
- gli elementi sulla diagonale principale rimangano su di essa;
- la riga K vada all'ultimo posto;
- ai primi posti ci siano le righe corrispondenti all'insieme U;
- poi quelle dell'insieme V;
- poi W.

Dividiamo la matrice in zone:

O o o o o o o o o o o o
o O o o o o o o o o o o --> U
o o O o o o o o o o o o
a a a -D b b b c c c c x
a a a b -D b b c c c c x
a a a b b -D b c c c c x -->V
a a a b b b -D c c c c x
-e -e -f -f -f H -g -g y
-e -e -f -f -f -g H -g -y -->W
-e -e -f -f -f -g -g H -y
n n n m m m m i i i i -L

.......continua

Facciamo che la somma dei coefficienti nella zona "a" sia A;
nella zona "b" sia B.......
.... nella zona "L" sia -L (è un numero negativo).
L'ultima riga è somma delle precedenti ([1]).
Quindi
$ M = B-D-F $.
Per la proprietà [0] deve valere:
$ D > A+B+C+X $
e dunque:
$ -D = -A-B-C-X-\theta $, con $ \theta > 0 $.

Allora M, che dev'essere positivo o nullo, vale:
$ B-A-B-C-X-\theta -F $, che è negativo.
La spiegazione è che l'insieme V dev'essere vuoto.

Allora:

O o o o o o o o o o o o o o o
o O o o o o o o o o o o o o o --> U
o o O o o o o o o o o o o o o
o o o O o o o o o o o o o o o
B= -e -e -e -e H -g -g -g -g -g -y
-e -e -e -e -g H -g -g -g -g -y
-e -e -e -e -g -g H -g -g -g -y -->W
-e -e -e -e -g -g -g H -g -g -y
-e -e -e -e -g -g -g -g H -g -y
-e -e -e -e -g -g -g -g -g H -y
n n n n n n i i i i i i i i i i i i i i -L

N, anch'esso non negativo, è pari a -E.
Questo è possibile solo se $ N=-E=0 $.
Per la proprietà [0] deve valere:
$ H > E+G+Y $ e $ L> N+I=I $ , [2]
e dunque:
$ H=G+Y+\sigma $, con $ \sigma > 0 $;


Tuttavia: $ -Y = -L $
e $ I=-G+H=-G+G+Y+\sigma=L+\sigma $
Quindi: $ I>L $.
Ma questo è in contrasto con la [2]
Assurdo. QED

OMFG. Tutto per rispondere a me??
Mi bastava il commento di fph: "0".