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In una provetta in un dato istante c'è un'ameba. Tale ameba ad ogni istante e con pari probabilità può:

- morire
- non fare nulla
- dividersi in due amebe identiche
- dividersi in tre amebe identiche

Calcolare la probabilità che la popolazione di amebe si estingua.

Bonus question: se la provetta ha sufficiente brodo di coltura per il sostentamento di N amebe (nel qual caso, tutte le amebe in eccesso morirebbero istantaneamente), come cambia la probabilità di estinzione della popolazione?

andreac ha scritto:Tale ameba ad ogni istante e con pari probabilità

Cosa intendi per istante? Suddividi il tempo in istanti che possono essere messi in ordine come i naturali?

sarebbe la stessa cosa dire ad ogni secondo o ad ogni ora.

Sia $ e(x) $ la probabilità di estinzione della specie quando ci sono x amebe.
Dobbiamo calcolare $ e(1) $.
Vale la seguente equazione:
$ e(1) = \frac{1}{4} e(0) +\frac{1}{4} e(1) +\frac{1}{4} e(2) +\frac{1}{4} e(3) $.
Ovviamente: $ e(0)=1 $.
Poi: $ e(2)=e(1)^2 $ e $ e(3) = e(1)^3 $,
giacché i discendenti di una popolazione di 2 amebe si estinguono se e solo se si estinguono i discendenti di una delle amebe
e si estinguono anche i discendenti dell'altra ameba.
(Stesso discorso per 3 amebe).

Alla fine abbiamo ottenuto: $ e(1) = \frac{1}{4} +\frac{1}{4} e(1) +\frac{1}{4} e(1)^2 +\frac{1}{4} e(1)^3 $.
Quindi: $ 0=e(1)^3+e(1)^2-3 e(1) +1 = [e(1)-1]\cdot [e(1)^2+2e(1)-1] $
E allora: $ e(1)=1\ \ \ \ oppure\ \ \ \ \ -1+\sqrt{2}\ \ \ \ \ \ \ oppure\ \ \ \ \ -1-\sqrt{2} $.

Quello negativo non va bene.
L'1 non va bene neppure poichè ... 'speta che non mi ricordo...era facile...
...lo sapevo che non dovevo aspettare prima di scrivere...
boh, comunque ci si crede: in media (finché è viva) la popolazione aumenta...

Passiamo invece al bonus.
Ho pensato a due modi.
-L'induzione. (pensandoci, potrei semplificarlo, ma ci dovrei pensare un po').
-Il metodo bovino. (prossimamente)
Comunque esce: "la popolazione si estingue praticamente sempre".

Per comodità supponiamo che un'ameba abbia ad ogni istante una probabilità
$ p_e $ di morire e, per il resto, di restare uguale oppure di dividersi in k amebe, con una probabilità $ p_k $, essendo
$ 1\leq k \leq M $, con M intero positivo.
(queste probabilità sono diverse da 0 e da 1).


Induzione:

Senza perdita di generalità le amebe, quando muoiono per poco brodo di coltura nel barattolo, lo fanno in mezzo istante, cosicché si possano trasferire in un qualche luogo con del nutrimento, se possibile.
Quando muoiono di morte "naturale", invece, lo fanno istantaneamente.

Posto questo, possiamo iniziare.

Innanzitutto non si parlerà più di $ e(x) $, ma stavolta si dovrà avere
$ e(x,N) $, con ovvio significato.

$ e(1,1) = 1 $.
Infatti L'ameba ha, ad ogni istante, $ p_e \neq 0 $ di possibilità di estinguersi, altrimenti, rimanere un asola ameba.
Allora, dopo k istanti la probabilità di essere ancora viva sarà:
$ \left( 1-p_e \right) ^k $.
per k tendente all'infinito, questa quantità diviene infinitesima.
Quindi la probabilità di estinzione di un'ameba sarà 1.


Poniamo di aver dimostrato che
$ e(1,N) = 1 $.
Dimostriamo che:
$ e(1,N+1) = 1 $.

Poniamo di avere 3 barattoli.
Il barattolo A permette a N+1 amebe di sopravvivere.
Il barattolo B permette a N amebe di sopravvivere.
Il barattolo D può sostenere una sola ameba.

Terminologia: "si riempie" = "la popolazione è diventata più di quella che può essere sostenuta; se non si interviene entro mezzo istante qualche ameba ci lascerà le penne".

Esperimento 1:

Si prende solo il barattolo A.
Si inizia con un'ameba.
La popolazione si estingue se e solo se... si estingue.
La probabilità di estinzione è $ e(1,N+1) $.

Esperimento 2:

Si prendono i barattoli B e D.
Si inizia con un' ameba in B.
Quando un barattolo si riempie, le amebe in eccesso vengono trasferite nell'altro barattolo.
L'estinzione si ha quando le amebe sono morte in entrambi i barattoli.


Si nota che gli esperimenti 1 e 2 sono equivalenti.
La probabilità di estinzione è $ e(1,N+1) $.

Quindi se dimostriamo che la probabilità di estinzione nell'esperimento 2 è 1, avremo provato il passo induttivo:
$ e(1,N+1)=1 $.

Prendiamo in considerazione l'esperimento 2.
L'ameba sola in D ha una probabilità su 4 di morire.
Quando il barattolo B ha più di $ \frac{N}{M} $ amebe, ha anche una certa probabilità diversa da 1 e 0 di venire sostituita subito una volta morta.
Le amebe in B, invece, fintantoché D è vuoto, si comportano come se ci fosse solo il barattolo B.
Quando c'è un'ameba in D, invece, ...

blablabla.....
scusate, ma mi sono accorto che in questa dimostrazone faccio ricorso più o meno
al risultato che ho esposto sotto (solo che non mi ero accorto che di lì si poteva finire immediatamente....
che faccio? elimino questo messaggio?
O lo continuo?
Io opterei per l'eliminazione, perchè il "metodo bovino era più interessante ede originale....
Almeno ho avvisato...

ghilu ha scritto:E allora: $ e(1)=1\ \ \ \ oppure\ \ \ \ \-1+\sqrt{2}\ \ \ \ \ \ \ oppure\ \ \ \ \-1-\sqrt{2} $.

Quello negativo non va bene.
L'1 non va bene neppure poichè ... 'speta che non mi ricordo...era facile...
...lo sapevo che non dovevo aspettare prima di scrivere...

$ ~1+\sqrt{2} $ non potrebbe nemmeno essere accettabile (una probabilità è sempre tra 0 e 1). Le soluzioni che sicuramente hai sbagliato a copiare sono $ ~1,-1\pm\sqrt{2} $, da cui che l'unica accettabile è $ ~\sqrt{2}-1 $ (l'altra è negativa e l'1 vorrebbe dire che è certo che si estingua...)

boh, comunque ci si crede: in media (finché è viva) la popolazione aumenta...

non capisco cosa c'entra con la soluzione che avevi ottenuto, comunque a conferma di ciò: $ ~\sqrt{2}-1<\frac{1}{2} $, cioè è più probabile che sopravviva

Va beh certo che più va avanti più le possibilità che si estingua diminuiscono...poichè se non muore c'è 1 possibilità su 3 che la situazione resti come sia, per le altre 2 la possibilità di estinguersi diminuiscono.

Definiamo $ \ e_n= ${probabilità che la nostra allegra colonia si estingua entro il turno n}. Quand'è che $ \ e_n $ supera $ \sqrt{2}-1 $?

beh, in effetti avevo dimenticato un meno...cioè...l'avevo scritto preceduto da una \ non intenzionale...
un attimo (si fa per dire) che completo qull'induzione..

Anzi, sta uscendo un po' lunghina e quindi la "semplifico" un po'

Intanto che scrivo gli altri approcci, scrivo la soluzione che mi ha appena fatto guardare all'esercizio con meno "rispetto"... e mi ha fatto cadere le braccia.....
Ad ogni istante ci sono al più N amebe.
Quindi la probabilità di estinguersi in un solo istante, di colpo, sarà sempre presente e maggiore od uguale a: $ \left( \frac{1}{4} \right)^N $.
Allora ad un tempo t la probabilità che siano ancora tutte vive è minore od uguale a:
$ \left[ 1-\left( \frac{1}{4} \right)^N \right]^t $, che per t tendente all'infinito fa...

1.

Non ho capito il senso dell'ultimo post, e i discorsi sul rispetto e il cadere le braccia. Hai dimostrato che una probabilità è minore o uguale a 1. Embè?

ghilu ha scritto: Allora ad un tempo t la probabilità che siano ancora tutte vive è minore od uguale a:
$ \left[ 1-\left( \frac{1}{4} \right)^N \right]^t $, che per t tendente all'infinito fa...

0. Ora va meglio, Tibor?

Ah, faceva 0. Allora sì che è utile.

Sì... fa 0...