OliForum Matematico

Salve a tutti,vorrei un chiarimento su un problema assegnato allo stage pre-IMO di cortona nel 95,che ho trovato sul libro delle olimpiadi di matematica. Ecco il problema: Siano a1 , a2 , ... a10 dei numeri interi. Dimostrare che è possibile trovare
dei numeri x1 , x2 , ... x10 appartenenti all ' insieme {−1,0,1}tali
che a1 x1,a2 x2, ... ,a10 x10 sia divisibile per 1001.
Il mio problema è che non riesco a capire cosa la traccia voglia dire,perchè mi pare che ci sia qualche errore:
1) I numeri a1, a2,...a10 non possono assumere qualsiasi valore, ma devono almeno soddisfare la condizione che la somma dei loro valori assoluti debba essere maggiore o uguale a 1001
2)Anche numeri che soddisfano la condizione di cui sopra non sono necessariamente idonei al problema(es: se gli a con i sono: 102,103,104,105,106,107,108,109,110,111 non si può in alcun modo ottenere 1001 o un suo multiplo perchè assegnando ad ogni numero il coefficiente 1 la somma ha valore 1065(credo ) e assegnando un coefficiente diverso a qualsiasi termine il risultato è minore di 1001.
3)Se per caso anche zero fosse considerato multiplo di 1001 il problema avrebbe una soluzione ridicola,perchè con qualsiasi insieme di a con i basterebbe assegnare il coefficiente zero a tutti e il gioco sarebbe fatto!
Scusandomi per essermi prolungato così tanto e per ostinarmi a non voler imparare il latex , dato che non vorrei andare a vedere la soluzione per capirci qualcosa in più per non rovinarmi il gusto di risolverlo da solo,vorrei chiedere se qualcuno ci capisce qualcosa e faccia capire anche a me .Grazie!

Mi è venuta in mente un'idea..non ci ho nemmeno pensato molto,la scrivo così per avere un vostro parere..Non potrebbe essere che il problema vuole che la somma deve essere un divisore di 1001?oppure sia un divisore che un multiplo?Che qualcuno mi aiuti!!

Dimmi qual è il problema, così leggo il testo direttamente dal libro...

giggiotb ha scritto:3)Se per caso anche zero fosse considerato multiplo di 1001 il problema avrebbe una soluzione ridicola,perchè con qualsiasi insieme di a con i basterebbe assegnare il coefficiente zero a tutti e il gioco sarebbe fatto!

Non ho sottomano il testo, ma penso che la soluzione banale $ x_1=...=x_{10}=0 $ sia da escludere

giggiotb ha scritto:2)Anche numeri che soddisfano la condizione di cui sopra non sono necessariamente idonei al problema(es: se gli a con i sono: 102,103,104,105,106,107,108,109,110,111 non si può in alcun modo ottenere 1001 o un suo multiplo perchè assegnando ad ogni numero il coefficiente 1 la somma ha valore 1065(credo ) e assegnando un coefficiente diverso a qualsiasi termine il risultato è minore di 1001.

Se poni $ x_1=x_2=0 $, $ x_3=x_6=x_7=x_{10}=-1 $, $ x_4=x_5=x_8=x_9=1 $ otteni che $ -104+105+106-107-108+109+110-111=0 $, che è divisibile per 1001.

@Luthorien: Il problema è matematizzazione 90.
@Pak-man:In effetti hai ragione..devo pensarci un pò meglio... ..sono stato frettoloso nel considerarlo..Grazie!

@Pak-man: Cmq sul testo non c'è scritto che la soluzione con tutti zero sia da escludere!

giggiotb ha scritto:@Pak-man: Cmq sul testo non c'è scritto che la soluzione con tutti zero sia da escludere!

Beh, ecco dimostrato che esiste sempre almeno un modo, ovvero ponendo x1=x2=...=x10=0