Un'urna con infinite palline

[Jean-Paul]

Considerate la seguente situazione:
"Si ha un'urna, inizialmente vuota, e infinite palline, contrassegnate con i numeri naturali 0,1,2,... Il primo giorno vengono messe nell'urna dieci palline, quelle corrispondenti ai numeri da 0 a 9 e viene tolta la pallina contrassegnata con il numero massimo, cioè 9. Il secondo giorno vengono aggiunte nell'urna altre dieci palline, quelle corrispondenti ai numeri da 10 a 19, e ancora viene tolta la pallina contrassegnata con il numero massimo, cioè 19. Si prosegue così, per infiniti giorni. È chiaro che, alla fine, rimarranno nell'urna infinite palline, tutte quelle corrispondenti ai numeri che terminano con una cifra diversa da 9.
Ora si ripeta il procedimento con una sola modifica: ogni volta togliamo dall'urna la pallina contrassegnata con il numero minimo fra quelle presenti: il primo giorno, introdotte nell'urna le palline da 0 a 9, viene tolta la pallina contrassegnata con il numero 0; il secondo giorno, aggiunte le palline da 10 a 19, essendo ancora presenti nell’urna le palline da 1 a 9, viene tolta la pallina 1, etc. Alla fine, quante palline rimarranno nell'urna? La situazione sembra del tutto analoga alla precedente perché, in questo caso come in quello già visto, ogni giorno ci sono nell'urna nove palline in più rispetto al giorno prima.
Tuttavia questa volta l'urna, alla fine, è vuota: per ogni n, la pallina contrassegnata con il numero n è stata tolta l'(n+1)-esimo giorno".
In termini rigorosi di teoria degli insiemi, il paradosso è legato al fatto che la cardinalità dell’unione di insiemi non è necessariamente la somma delle cardinalità degli insiemi stessi.

Considerando la parte in grassetto (che ho trovato in un libro), il mio professore ha fatto la seguente osservazione:
"Non mi pare che questa sia una spiegazione sensata delle difficoltà incontrate nel paradosso. Intanto l’affermazione corretta è che: la cardinalità dell’unione di due insiemi è la somma delle cardinalità dei singoli insiemi. Però bisogna precisare cosa si intende per cardinalità, anche di insiemi infiniti, e come è definita la somma di cardinalità in questi casi, definizione che è ben diversa da quella di somma tra naturali. Che poi il paradosso sia legato a quanto ho esposto è vero comunque, e non solo in base a termini rigorosi della teoria degli insiemi".

Come posso rispondere alle sue osservazioni? Grazie.

[SkZ]

mi ricorda tanto
$ $0>\sum_{n=1}^\infty [n-(n+1)]=\sum_{n=1}^\infty n-\sum_{n=1}^\infty (n+1)=1+\sum_{k=2}^\infty k-\sum_{k=2}^\infty k=1>0 $

e' un paradosso del piffero, per solo giochi di parole. si vede facilmente che esiste una biiezione tra le 2.
vero che il numero n verra' eliminato al giro n, ma in pratica aggiungo ad ogni giro 9 biglie ergo non posso trovarmi senza. E' come la sommatoria sopra:
la somma di 2 sommatorie e' uguale alla sommatoria dei loro termini se e solo se le 2 sommatorie sono finite. adesso non ricordo se anche che abbiano un limite finito basta ma non mi torna (pensando a serie a termini alterni)

[Tibor Gallai]

Un'altra coppia di esperimenti che secondo me è chiarificatrice:

esperimento 3: mettiamo la pallina numero 0, e ad ogni passo lasciamo tutto invariato. Alla fine nell'urna c'è una pallina.

esperimento 4: mettiamo la pallina 0, poi la togliamo e mettiamo la 1, poi la togliamo e mettiamo la 2, etc. Alla fine l'urna resta vuota, anche se in ogni passaggio conteneva una pallina.

Il fatto è: hai una funzione dagli ordinali alle parti di N, che hai definito per gli ordinali finiti. Vuoi sapere quanto vale in omega. A priori potrebbe valere quello che le pare, ma tu (implicitamente) dici che f(omega) contiene tutti e soli gli n che sono contenuti in tutti gli f(m) (con m naturale), a parte al più un numero finito. Il paradosso si traduce nel fatto che il limite delle cardinalità delle f non è la cardinalità del limite. Quello che invece è mascherato da paradosso, o che il tuo libro ha scambiato erroneamente per il paradosso, è che nel primo esperimento il limite di f è (per puro caso) l'unione della successione dei valori di f, poiché f(m) è sottoinsieme di f(m+1). Nel secondo esperimento, invece no. Quindi nel primo caso è vero che puoi passare al limite anche rispetto alle cardinalità, nel secondo caso questo non è vero.

Btw, bel libro e bel professore. Il libro non spiega un accidenti del perché il paradosso è quello che è, il prof fa un gran minestrone dicendo cose sostanzialmente inesatte e comunque molto fumose.

[Ani-sama]

la somma di 2 sommatorie e' uguale alla sommatoria dei loro termini se e solo se le 2 sommatorie sono finite. adesso non ricordo se anche che abbiano un limite finito basta ma non mi torna (pensando a serie a termini alterni)

Perché non dovrebbe funzionare scusa? Se esiste il limite delle somme parziali uno ha i risultati di linearità e tutto funziona.

la somma di 2 sommatorie e' uguale alla sommatoria dei loro termini se e solo se le 2 sommatorie sono finite

Quindi, per il "se", ok. Ma per il "solo se", non direi proprio!

[SkZ]

si vero, si possono trovare facilmente controcasi.
scusate: marea di ;lavoro e dormo poco, ergo mi capita di scrivere stupidaggini. questa e' una di quelle.

se sono finite si possono sommare, altrimenti Dio lo sa (ovvero caso per caso)
a proposito, se sono assolutamente convergenti dovrebbero potersi sommare

[Nonno Bassotto]

Non ho niente da aggiungere a quello che ha detto Tibor. Mi limito a osservare che la frase in grassetto del libro, se si riferisce ad unioni di insiemi disgiunti (e credo proprio di sì, altrimenti non funziona nemmeno con gli insiemi finiti) è proprio bella falsa. Anzi la somma di cardinali si definisce esattamente come la cardinalità dell'unione. Almeno il prof non si capisce quello che dice...

[Ani-sama]

se sono finite si possono sommare, altrimenti Dio lo sa (ovvero caso per caso)
a proposito, se sono assolutamente convergenti dovrebbero potersi sommare

Supponi che $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ e $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n $ convergano (assolutamente o no). Cioè, per definizione, esistono finiti $ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n a_k $ e $ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n b_k $. Ma allora, per il teorema di linearità del limite, si ha senz'altro:

$ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n =\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n a_k + \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n b_k = \lim_{n \to +\infty} \left( \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k \right) = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n (a_k+b_k) = \sum_{n=1}^{\infty} (a_n+b_n) $

O mi sto sbagliando?

[SkZ]

non mi pare che sbagli.
ma come ho detto, in sti gg la mia mente fa strani scherzi
infatti mi era scappato la prima parte del tuo mess precedente. volevo aggiungere al mio post, ma scordato.