Paradosso della "lampada di Thompson"

[Jean-Paul]

Considerate la seguente situazione:
"Si ha una lampada, dotata di un normale pulsante di accensione-spegnimento. Schiacciando il pulsante, se la lampada è spenta, essa si accende; viceversa, si spegne. Si immagini ora la seguente situazione: la lampada è spenta, e si impiega esattamente un minuto per schiacciare il pulsante e accenderla. Quindi si preme di nuovo il pulsante, impiegando la metà del tempo, vale a dire 30 secondi, per spegnerla. Poi lsi riaccende ancora, in 15 secondi, e la si rispenga in metà tempo, ossia 7,5 secondi. E così via all’infinito, sempre impiegando per premere il pulsante la metà del tempo impiegato appena prima".


Si ha una serie infinita convergente il cui limite è 2.
Per quanto sembri strano che si riesca a premere il pulsante infinite volte, dopo 2 minuti, dovete riconoscere che è possibile portare a termine in un tempo finito una serie infinita di atti sempre più brevi, tanto brevi da essere sempre completati prima che trascorrano i due minuti.
Ma, se al termine di questi due minuti osserviamo la lampada, essa sarà accesa oppure spenta? Questo non si può affatto dire in base alle informazioni disponibili.
Mi chiedo:
Se anche si convenisse che +1 significa accendere e -1 significa spegnere, perché bisogna sommare questi numeri per rappresentare lo stato finale dopo una successione di tali azioni? Lo stato finale non è né accendere né spegnere, ma acceso o spento. Si potrebbe allora convenire che 0 indica spento e 1 acceso. Allora bisognerebbe ulteriormente spiegare che la addizione dei numeri che rappresentano le azioni porta al numero che rappresenta la situazione di acceso o spento quando si interrompe questa serie di azioni. Ma, anche se una somma finita può rappresentare la situazione che si avrà dopo un numero finito di azioni, cosa dire della somma infinita? Ha senso dire che rappresenterà la situazione al minuto 2? La serie data (il limite delle ridotte) non converge, ma anche dovesse convergere perché deve rappresentare lo stato finale? Perché il tendere verso qualcosa dovrebbe indicare che quel qualcosa è lo stato finale? Perché dover supporre una specie di “continuità” tra il comportamento nell’avvicinarsi al minuto 2 con quello che succede esattamente al minuto 2?

Mi togliete qualche dubbio? Grazie.

[sasha™]

Dall'alto della mia ignoranza, secondo me non ha senso di parlare dello stato della lampadina dopo i due minuti, perché non arriveremo mai al termine del minuto 2, ma ci limitiamo ad avvicinarci sempre di più. Ergo, possiamo accendere e spegnere la lampadina infinite volte, ma ci impiegheremo comunque meno di due minuti. Lo stato dipende da quanto siamo vicini a due. Nel frattempo, la lampadina si fulmina, quindi probabilmente sarà spenta alla fine. XD

[julio14]

Prendiamo una circonferenza di diametro 1 e un suo punto P. Ora rompiamola nel punto P e distendiamola come un segmento di estremi P e P'. Chiediamo al genio della lampada di scrivere sul punto a distanza 3 da P la cifra 3, a 3,1 la cifra 1, a 3,14 la cifra 4 e così via. Ora andiamo in P'. Qual'è l'ultima cifra scritta?

[kn]

Chuck Norris la conosce!
Comunque dico... 4!

[Tibor Gallai]

Perché il tendere verso qualcosa dovrebbe indicare che quel qualcosa è lo stato finale? Perché dover supporre una specie di “continuità” tra il comportamento nell’avvicinarsi al minuto 2 con quello che succede esattamente al minuto 2?

Questa è l'unica domanda a cui so dare un senso. La risposta è che tu sottointendi una certa modellizzazione dell'atto di accendere e spegnere la lampadina, del tempo, etc. Ed il fatto della continuità in 2 è la traduzione del tuo testo con la lampadina nel modello coi reali, e la funzione a valori in {0,1}. Tu dici: supponiamo che f sia continua in 2, e costante per x>=2. Quanto vale in 2? Vale quanto il limite sinistro... Se esiste il limite (ovvero f è costante in un intorno sinistro di 2, poiché ha valori in {0,1}), bene. Altrimenti, sono false le ipotesi di continuità, quindi il problema non si pone.

Le altre domande sono del tipo "voglio ottenere A e faccio B, perché?". La risposta a queste è "non fare B perché non ha senso, chi ti dice di fare B?!?!?".

ps. Voglio comprare un chilo di pane e vado dal macellaio, perché?

[SkZ]

La risposta di TG e' perfetta.
questa domanda mi fa venire in mente questa:
quanto vale $ $\sin{\frac{1}{x}} $ in zero?

[Ani-sama]

quanto vale $ $\sin{\frac{1}{x}} $ in zero?

Non è definita e non ammette manco limite. Ma forse non ho capito dove tu voglia arrivare.

[SkZ]

Ed il fatto della continuità in 2 è la traduzione del tuo testo con la lampadina nel modello coi reali, e la funzione a valori in {0,1}. Tu dici: supponiamo che f sia continua in 2, e costante per x>=2. Quanto vale in 2? Vale quanto il limite sinistro... Se esiste il limite (ovvero f è costante in un intorno sinistro di 2, poiché ha valori in {0,1}), bene. Altrimenti, sono false le ipotesi di continuità, quindi il problema non si pone.

come la funzione acceso spento, si sa che varia fortemente in un intorno del punto in questione e non e' definita in tal punto.
ricordiamoci che il limite calcolato dice che 2 e' punto di accumulazione per il dominio, quindi posso discutere della presenza di un limite.
Ok e' una funzione dai naturali a {0;1} tecnicamente, ma appunto volendo la puoi rappresentare con una funzione sinusoidale sui naturali e pensarla estesa ai reali