distribuzione di carte! bellissimo problema!!

[Iuppiter]

Un esempio: abbiamo 6 carte e le dividiamo in questo modo: 1 | 2 | 3 | 456
In base a quanto detto i casi possibili dovrebbero essere: $ \frac{6!}{{3!}{4!}}\binom{5}{3}={5}\cdot{10}=50 $, quando in realtà sono 20, dato che dobbiamo solamente scegliere le 3 carte che vanno nel mazzo formato da 3, $ \binom{6}{3}=20 $, dato che le altre 3 carte andranno una in ogni mazzo, e non ci interessa l'ordine

E' vero! Però oggi mi sono messo a pensare in classe e ho detto "Cambio di tattica!"
Invece di contare casi possibili e favorevoli, perchè non contare direttamente la probabilità che una carta vada bene o no?
Mi spiego: abbiamo in mano le 40 carte. Dobbiamo scegliere la prima carta che va nel primo mazzo:$ \frac{40}{40} $. Sempre nel primo mazzo, per la seconda abbiamo $ \frac{30}{39} $ (perchè non vogliamo una carta del seme appena estratto). Per la terza abbiamo $ \frac{20}{37} $ e per la quarta $ \frac{10}{36} $.

Adesso lasciamo da parte il primo mazzo, e facciamo il secondo. Tenendo conto che non vogliamo due semi uguali nello stesso mazzo, e che abbiamo già estratto una carta per seme nel primo mazzo, le probabilità sono:$ \frac{36}{36} $$ \frac{27}{35} $$ \frac{18}{34} $$ \frac{9}{33} $.

Seguiamo lo stesso ragionamento per i mazzi terzo e quarto.
3° mazzo:$ \frac{32}{32} $$ \frac{24}{31} $$ \frac{16}{30} $$ \frac{8}{29} $.
4° mazzo:$ \frac{28}{28} $$ \frac{21}{27} $$ \frac{14}{26} $$ \frac{7}{25} $.

A questo punto abbiamo 4 mazzi che soddisfano le condizioni della richiesta, e le altre 24 carte le piazziamo come ci piace, che tanto non influisce sul risultato.

Quindi la probabilità cercata è $ P= $ $ \frac{40}{40} $$ \frac{30}{39} $$ \frac{20}{37} $$ \frac{10}{36} $ + $ \frac{36}{36} $$ \frac{27}{35} $$ \frac{18}{34} $$ \frac{9}{33} $ + $ \frac{32}{32} $$ \frac{24}{31} $$ \frac{16}{30} $$ \frac{8}{29} $ + $ \frac{28}{28} $$ \frac{21}{27} $$ \frac{14}{26} $$ \frac{7}{25} $ = $ \frac{1093687403684}{2419805913530} $ = $ 45,20 $% circa.

Il risultato a occhio non sembra malvagio, ma dubito che il procedimento sia corretto... dateci comunque un'occhiata.

[exodd]

...
1° non credo che tu possa sommare le probabilità, ma al più moltiplicarle
2° le altre 24 carte non è che influiscano così poco!
3° infatti se tra le prime 4 carte del primo gruppo non ci fossero 4 semi diversi, potrebbero entrare con le successive..

[Iuppiter]

Hai ragione...ho sparato un mucchio di idiozie

[iademarco]

ps: il perchè dei calcoli lo scriverò appena troverò un po' di tempo

Un modo bruttissimo (ma è pur sempre un modo ) di trovare i casi possibili sarebbe quello di fare questa piccola addizione:
$ \binom{40}{37}+\binom{40}{36}\binom{4}{2}+\binom{40}{35}\binom{5}{3}+...+\binom{40}{19}\binom{21}{19}+\binom{40}{35}\binom{5}{2}\binom{3}{2}+\binom{40}{34}\binom{6}{3}\binom{3}{2}+\binom{40}{33}\binom{7}{4}\binom{3}{2}+\binom{40}{33}\binom{7}{3}\binom{4}{3}+...........................................+\binom{40}{10}\binom{30}{10}\binom{20}{10}\binom{10}{10} $

Oppure, se vogliamo considerare diversi i 4 mazzi (sempre senza contare l'ordine delle carte però), chiamandoli A B C D, i casi possibili si potrebbero calcolare in questo modo:
$ 4^{40}-4-{(2^{40}-2)}\binom{4}{2}-{(3^{40}-4-{(2^{40}-2)}\binom{3}{2})} = 4^{40}-3^{40}-6{(2^{39}-1)} $

Nel primo caso i casi possibili li conto in quel modo perchè...perchè...perchè...faccio un esempio:
Con 6 carte i gruppi potrebbero essere formati in soli 2 modi:
1-2-3-456 ... quelli formati in questo modo sono $ \binom{6}{3} $
1-2-34-56 ... quelli formati in questo modo sono $ \binom{6}{2}\binom{4}{2} $
Quindi ragionando con 40 carte esce quella bella somma riportata sopra.

Nel secondo caso invece conto tutti i casi possibili $ 4^{40} $ e sottraggo i casi in cui non c'è almeno una carta in ogni mazzo:
4 ---> il caso in cui tutte le carte vanno in un solo mazzo;
$ {(2^{40}-2)}\binom{4}{2} $ ---> il caso in cui tutte le carte vanno in 2 mazzi A e B, quindi da $ 2^{40} $ sottraggo il caso in cui vadano tutte in A o tutte in B, per i modi di scegliere i 2 mazzi;
$ {(3^{40}-4-{(2^{40}-2)}\binom{3}{2})} $ ---> il caso in cui tutte le carte vadano in 3 mazzi A B e C; il resto è simile al ragionamento di prima.

[iademarco]

Detto questo, propongo di suddividere il problema in più sottocasi:

1° problema:
Abbiamo un mazzo di 40 carte (10 per ogni palo). Le dividiamo in 4 mazzi, contenenti almeno una carta ciascuno. Calcolare la probabilità che ognuno contenga almeno una carta per ogni palo (seme).
Buon divertimento

2° problema:
Abbiamo un mazzo di 40 carte (10 per ogni palo). Le dividiamo in 4 mazzi diversi A, B, C e D, contenenti almeno una carta ciascuno. Calcolare la probabilità che ognuno contenga almeno una carta per ogni palo (seme).
Buon divertimento

3° problema:
Abbiamo un mazzo di 40 carte (10 per ogni palo). Le dividiamo in 4 mazzi, contenenti almeno una carta ciascuno. Calcolare la probabilità che ognuno contenga almeno una carta per ogni palo (seme).
(2 mazzi contenenti le stesse carte, ma disposte in modo diverso, sono da considerarsi diversi)
Buon divertimento

4° problema:
Abbiamo un mazzo di 40 carte (10 per ogni palo). Le dividiamo in 4 mazzi diversi A, B, C e D, contenenti almeno una carta ciascuno. Calcolare la probabilità che ognuno contenga almeno una carta per ogni palo (seme).
(2 mazzi contenenti le stesse carte, ma disposte in modo diverso, sono da considerarsi diversi)
Buon divertimento

[didudo]

vi prego qualcuno risolva il primo problema,che a me sembra sempre più impossibile,proprio perchè non c'è un modo per contare le partizioni di un mazzo di 40 carte senza tenere conto dell'ordine dei 4 mazzi a meno di non contarli a mano,in quel caso auguri...