OliForum Matematico

qualche settimana fa è stato proposto da gatto questo problema:

Ad una festa in maschera ci sono 2n persone, n maschi e n femmine. In quanti modi si possono sedere in un tavolo rotondo, se l'unica distinzione è tra maschi e femmine?

e piever ha dato questa bella soluzione:
$ \displaystyle \frac{1}{2n}\sum_{d|n} {2d\choose d} \cdot\phi\left(\frac{n}{d}\right) $

ora vorrei sapere se nel caso più generale, se abbiamo x maschi ed y femmine, c'è una qualche formula a me sconosciuta con cui posso contare velocemente quanti sono i possibili modi di sedersi intorno ad un tavolo?

se x=y, allora vale la formula di piever
se x e y sono di parità diversa, o entrambi dispari mi SEMBRA che funzioni $ (x+y)!/x!y!(x+y) $

se sono emtrambi pari però non funziona, ad esempio con 2 maschi e 4 femmine sarebbero 6!/4!2!6 = 5/2

qualcuno che mi illumina? grazie mille

up question

iademarco ha scritto:se x e y sono di parità diversa, o entrambi dispari mi SEMBRA che funzioni $ (x+y)!/x!y!(x+y) $

Giusto una curiosità: come mai credi che il caso particolare x=y abbia una formula più brutta del caso generale con x e y qualunque?

Quella formula, comunque, non funziona. Prova con x=15 e y=40 ad esempio.. (oppure x=3 e y=3 se vuoi un controesempio + piccolo, o ancora x=3 e y=6 se vuoi un controesempio con $ x\neq y $)...

E' interessante notare che generalmente la tua formula non dà un valore intero, cosa che non depone a favore della tua congettura...

In compenso è un facile esercizio determinare per quali coppie x,y quella formula funziona... Potrebbe essere istruttivo per te farlo.

federiko97 ha scritto: Giusto una curiosità: come mai credi che il caso particolare x=y abbia una formula più brutta del caso generale con x e y qualunque?

Più brutta??
A me sembra bellissima
Comunque a me interessava sapere se c'è una formula bella come quella per x=y, nel caso di x e y qualunque

C'è, ed è abbastanza simile. A voi il compito di trovarla (potrebbe richiedere parecchio lavoro).

Usando la stessa tecnica dell'altro esercizio viene che posto x=an e y=bn, con (a,b)=1 si ha che la quantità cercata è:

$ \displaystyle \frac{1}{(a+b)n}\sum_{d|n}{(a+b)d\choose ad}\cdot\phi \left(\frac{n}{d}\right) $

che per a=b=1 dà la formula dell'altro thread...

Questa formula equivale alla tua nel caso n=1, se invece x e y non sono coprimi la tua è falsa...

piever ha scritto: $ \displaystyle \frac{1}{(a+b)n}\sum_{d|n}{(a+b)d\choose ad}\cdot\phi \left(\frac{n}{d}\right) $

Che bella formuletta
Ma soprattutto, molto facile da ricordare

Qualcuno può spiegarmi il senso di una sommatoria con sotto d|n.
E anche che significato ha quella palla con una barra di mezzo???

dario2994 ha scritto:Qualcuno può spiegarmi il senso di una sommatoria con sotto d|n.
E anche che significato ha quella palla con una barra di mezzo???

(sperando di non dir cavolate)
- Vuol dire che la sommatoria è estesa ad ogni $ ~d $che sia divisore di $ ~n $
- $ ~\phi $è la funzione phi di Eulero: $ ~\phi(n) $conta tutti gli interi minori di $ ~n $e coprimi con $ ~n $.

ok capito in pieno :)
Mi ero convinto che il simbolo della funzione phi volesse dire insieme vuoto xD