le regioni del poligono

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iademarco
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le regioni del poligono

Messaggio da iademarco » 30 mar 2009, 10:49

Sia P un poligono convesso avente n vertici, tale che nessuna terna di diagonali concorra in un punto.
Quanti sono complessivamente i punti d'intersezioine tra le varie diagonali?
In quante regioni viene suddiviso P tracciando tutte le diagonali?
per la prima domanda, si accende subito la :idea: ...
per la seconda purtroppo, non mi viene niente in mente... :roll:
qualche suggerimento?? :lol:

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iademarco
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Messaggio da iademarco » 30 mar 2009, 17:08

non c'è nessun volenteroso che mi aiuta? :(
dai datemi qualche aiutino please :lol:

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julio14
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Messaggio da julio14 » 31 mar 2009, 23:45

La prima domanda è l'hint per la seconda. Cerca di capire come sfruttare ciò che hai trovato.

Ah, btw, facendo questo problema ho trovato una simpatica identità (prendere la strade più semplici è troppo semplice): $ $\sum_{i=1}^ni\cdot\left(n+1-i\right)=\frac{n(n+1)(n+2)}6 $
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Messaggio da giggiotb » 04 apr 2009, 20:13

si infatti,risolvendo la prima parte del probolema viene anche a me...scusa,ma in che senso prendere le strade più semplici è troppo semplice?esiste anche qualche strada più semplice per risolvere il problema?se si la puoi mettere?xke a me proprio non viene...
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iademarco
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Messaggio da iademarco » 04 apr 2009, 20:48

scrivo come ho risolto la prima domanda, perchè non riesco a vedere il nesso con la seconda domanda :roll:
ogni intersezione si può considerare come il punto d'incontro delle diagonali di un quadrilatero. dato che ogni quadrilatero produce solamente un punto d'intersezione, possiamo considerare il problema come: quanti quadrilateri possono formarsi all'interno del poligono? e quindi la soluzione è $ n\choose 4 $

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julio14
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Messaggio da julio14 » 04 apr 2009, 20:50

Nel senso che che la strada più semplice per fare il primo punto corrisponde alla parte destra dell'identità più un fattore n/4, la strada più contorta è la parte sinistra (sempre con il fattore n/4).
Comunque risolta la prima parte, la seconda è solo un'idea+conti.
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Messaggio da giggiotb » 04 apr 2009, 21:11

julio14 ha scritto:Nel senso che che la strada più semplice per fare il primo punto corrisponde alla parte destra dell'identità più un fattore n/4, la strada più contorta è la parte sinistra (sempre con il fattore n/4).
Comunque risolta la prima parte, la seconda è solo un'idea+conti.
Non riesco a capire quale sia la differenza..cmq io ho ragionato considerando le diagonali uscenti da un vertice e per ognuna di esse calcolare le intersezioni ke ha con le altre e mi è venuta la sommatoria indicata a sinistra dell'identità..svolgendo i prodotti,sviluppandoli e raggruppandoli ho trovato ke per ogni vertice,le sue diagonali hanno (n-2)(n-3)(n-4)/6 intersezioni cn le altre...ora però sorge un piccolo problema:per trovare il totale degli incontri,basta moltiplicare per il numero dei vertici,e poi,dato ke ogni punto di intersezione viene considerato 4 volte,dividere per 4;quindi il numero totale di intersezioni nel poligono è: n(n-2)(n-3)(n-4)/24;questo numero non è però certamente divisibile per 24:infatti se n è dispari solo (n-3) è pari!cosa c'è di sbagliato nel ragionamento?
Per iademarco:come fa a venirti (n su 4)?
PS scusate se non uso il latex...
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Messaggio da julio14 » 04 apr 2009, 23:00

Avrai sbagliato i conti. Io ho iniziato con il metodo che mi è parso di capire essere il tuo, ho trovato $ $\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}6 $ (nel problema si ritrova l'identità di sopra ma con n-3, la differenza è solo un problema di indici) e ho aggiunto n/4, trovando così $ $\binom n4 $ e notando quindi che si poteva fare molto più in fretta come ha fatto iademarco.
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Messaggio da giggiotb » 05 apr 2009, 18:01

eh già...ragionando come ha fatto iademarco si arriva moooolto prima al risultato...
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Messaggio da iademarco » 09 apr 2009, 02:34

e per la seconda domanda?? :roll:

¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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Messaggio da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ » 16 apr 2009, 14:59

2) La formula ricorsiva si ottiene guardando quandi punti intersecano le diagonali del poligono di n lati con le diagonali che partono dal punto n+1: Numeriamo i vertici in senso antiorario da 1 a n+1 uniamo n+1 a i (dove i va da 2 a n-1) allora questa diagonale interseca (i-1)(n-i) punti le anltre e per ogni punti di intersezione si aggiunge un'area, più bisogna sommare le n-1 aree che si formano nel triangolo di vertici 1, n, n+1, da cui:

$ \displaystyle P_{n+1} = P_{n} + \sum_{i=2}^{n-1} (i-1)(n-i) + n-1= P_{n} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} + n-1 $

con $ P_3 = 1 $ da cui si ricava:

$ \displaystyle P_{n} = \sum_{i=1}^{n-2} \frac{i^3+5i}{6} = \frac{(n-1)(n-2)(n^2-3n+12)}{24} $

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