2009!

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Fenice
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2009!

Messaggio da Fenice » 13 mar 2009, 20:10

determina il numero di zeri con cui termina 2009!

Veluca
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Messaggio da Veluca » 13 mar 2009, 20:36

uff... avevo postato ma è crashato tutto e ho perso =_=' ricostruisco

premettendo che sembra un problema parecchio scolastico xD... usando questa formula dalle schede di gobbino si ha che la massima potenza di p che divide n! è $ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{n}{p^k}\right] $ dove le [] indicano "parte intera"

quindi $ 2^{2001}|2009! $ e $ 5^{500}|2009! $ -> $ 10^{500}|2009! $ -> 2009! termina con 500 zeri.
se serve una spiegazione della formula, chiedi pure ;)

Fenice
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Messaggio da Fenice » 13 mar 2009, 21:02

sinceramente nn capisco bene la formula se potresti spiegarla meglio, mi interessa moltissimo perchè cmq questo è un problema che abbiamo cercato di risolvere nel corso della selezione locale delle olimpiadi a squadra, e penso che potrei trovarmi difronte a problemi del genere in futuro e vorrei essere in grado di risolverli

Veluca
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Messaggio da Veluca » 13 mar 2009, 22:03

allora, con $ k=\left[\frac{n}{m}\right] $ si ricavano i multipli di m fino ad n (infatti si ha 1·m, 2·m...k·m, che sono k numeri, ma (k+1)·m>n)

ora, in n!, compare il prodotto dei numeri da 1 a n. in questo prodotto, un primo p appare $ \left[\frac{n}{p}\right] $ volte per i multipli di p, ma i multipli di p² contengono p 2 volte, quindi bisogna aggiungere $ \left[\frac{n}{p^2}\right] $, stessa cosa per p³ ($ \left[\frac{n}{p^3}\right] $) etc etc... in quella sommatoria infinita dopo un certo punto tutti gli addendi saranno 0, perchè $ p^k $ sarà maggiore di n

fph
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Messaggio da fph » 13 mar 2009, 23:46

Questo è un po' un problema "che bisogna portarsi da casa" (come dice Gobbino): se conosci la formula che ha citato Veluca è un problema scolastico, ma se non la conosci è molto difficile riuscire a inventarsela lì per lì. Purtroppo l'unico modo per riuscire a smontarli è studiarsi un po' di "teoria" (dai un'occhiata ai thread in testa alla sezione Glossario). Fortunatamente sono cose più interessanti di un compito in classe di storia ;), ma il concetto è quello.
--federico
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