Quale conviene?

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gismondo
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Quale conviene?

Messaggio da gismondo » 10 mar 2009, 15:03

Ci sono due giochini :
1) tiro 4 volte un dado, per vincere devo ottenere almeno un 1
2) tiro 24 volte 2 dadi, per vincere devo ottenere almeno un doppio 1
A quale mi conviene giocare?
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Iuppiter
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Messaggio da Iuppiter » 10 mar 2009, 15:10

Io dico la prima...

pak-man
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Messaggio da pak-man » 10 mar 2009, 15:29

1) la probabilità di ottenere almeno un uno in quattro tiri è $ 1-\left(\frac{5}{6}\right)^4 $
2) la probabilità di ottenere almeno un doppio uno in 24 doppi tiri è $ 1-\left(\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\right)^{24}=1-\left(\frac{5}{6}\right)^{48} $

quindi conviene la seconda

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gismondo
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Messaggio da gismondo » 10 mar 2009, 16:49

@ pakman
ma se nella seconda metti 5/6 * 5/6 escludi il caso in cui ottieni un 1 e un numero diverso da 1...che invece va incluso perchè il quesito dice un doppio 1...

@tutti gli altri
mi chiedevo quale fosse l'errore in questo ragionamento:
1) il quesito dice almeno un 1, quindi impongo che esca un 1 e poi per gli altri 3 lanci può uscire quello che vuole... quindi 1/6*1*1*1*4 perchè può uscire in 4 posti..

2)un doppio 1 con due dadi si ottiene con la probabilità di 1/36, quindi se negli altri 23 lanci può uscire quello che vuole (dice "almeno") faccio 1/36*24 posti e sto a posto...
Così la probabilità viene 2/3 a tutti e due, il ragionamento sembra fare senso, ma è sbagliato...dov'è l'errore?
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Thebear
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Messaggio da Thebear » 10 mar 2009, 17:32

Prova a ragionare al contrario: nel primo caso la probabilità di perdere è uguale a quella che non esca mai 1 cioè $ (5/6)^4 $ e dunque la probabilità di vincere è
$ 1-(5/6)^4 $

Nel secondo caso ad ogni lancio hai ad ogni lancio $ 35/36 $ di probabilità di perdere che dunque in 24 mani diventano $ (35/36)^{24} $. Analogamente al caso precedente quindi la probablità di vincere è $ 1-(35/36)^{24} $. ora intuitivamente visto che entrambi sono numeri compresi tra 0 e 1 abbastanza "confrontabili" il più piccolo dovrebbe essere quello con esponente maggiore e in effetti con la calcolatrice vedi che il primo fa circa 0,52 e il secondo 0,49

credo sia giusto, correggetemi.

EDIT:
aspettate ma allora perché pakman ha scritto un risultato diverso alla seconda??? da dove l'hai preso quel 5/6???
Edoardo

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gismondo
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Messaggio da gismondo » 10 mar 2009, 18:44

Sisi il tuo ragionamento è giusto e il risultato è corretto. Io mi chiedevo dove fosse l'errore nell'altro ragionamento, quello che ho scritto sopra, che è sbagliato ma non ho ben chiaro in cosa...
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Iuppiter
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Messaggio da Iuppiter » 10 mar 2009, 19:43

Il ragionamento di pak-man è sbagliato, quello di Thebear è perfetto perchè applica il teorema della probabilità dell'evento contrario (si chiama così?), ed è come ho fatto io (prima non avevo tempo di scrivere). Infatti se pensi al contrario di "per vincere devo ottenere almeno un uno" la frase diventa "per vincere devo non ottenere almeno un uno", cioè "per vincere non devo ottenere neanche un uno". Quindi alla probabilità dell'evento certo (cioè 1) sottrai la probabilità dell'evento contrario.
Provo a rispondere a gismondo, ma non sono sicuro di quello che dico anche se lo abbiamo fatto in classe qualche settimana fa. In pratica nel tuo ragionamento dovresti fare la probabilità che esca una volta $ P(1) $ + la probabilità che esca due volte $ P(2) $ + $ P(3) $ + $ P(4) $. Però non saprei dirti precisamente perchè è sbagliato il tuo ragionamento.

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 10 mar 2009, 20:06

gismondo ha scritto:Io mi chiedevo dove fosse l'errore nell'altro ragionamento, quello che ho scritto sopra, che è sbagliato ma non ho ben chiaro in cosa...
E' sbagliato il punto 1, conti troppe volte le configurazioni in cui c'è più di un 1.
Idem per il punto 2.

pak-man
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Messaggio da pak-man » 11 mar 2009, 00:14

Iuppiter ha scritto:Il ragionamento di pak-man è sbagliato quello di Thebear è perfetto
Vero, perché, come già detto da gismondo, per sbaglio ho escluso i casi in cui viene 1/non-1: il calcolo giusto è quello di The Bear, anche se alla fine anziché calcolare i valori si potrebbe fare una disuguaglianza per vedere qual è il maggiore.
Il ragionamento di Iuppiter è giusto: anziché sommare la probabilità che esca esattamente 1 uno, esattamente 2 uno, esattamente 3 uno, esattamente 4 uno, è meglio calcolare la probabilità che non ne esca neanche uno. Allora la probabilità che ne esca almeno uno è 1-(probabilità che non ne esca alcuno).

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