interessante problema di probabilità

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mantis
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interessante problema di probabilità

Messaggio da mantis » 30 gen 2009, 11:39

Sono state messe $ n $ lettere in $ n $ buste; quindi sono stati scritti a caso gli indirizzi sulle buste. Qual è la probabilità che nessuna lettera corrisponda al suo destinatario con $ n $ tendente all'infinito?

Non riesco proprio a capire come si può risolvere...

andreac
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Messaggio da andreac » 30 gen 2009, 14:51

E qual è la probabilità che ciascuna lettera sia finita al rispettivo destinatario? :wink:

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kn
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Messaggio da kn » 30 gen 2009, 18:39

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dario2994
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Messaggio da dario2994 » 01 feb 2009, 12:13

alur premetto che le mie risposte tendono ad essere sbagliate xD quindi non fidarti ma aspetta che qualche esperto confermi.
Io ho ragionato così:la prima busta ha una probabilità di
$ $\frac{n-1}{n}$ $
di arrivare al destinatario sbagliato, la seconda avrà quindi probabilità
$ $\frac{n-2}{n-1}$ $
quindi la Kesima avrà probabilità
$ $\frac{n-k}{n-k+1}$ $
Quindi la probabilità totale, data dalla moltiplicazione delle probabilità parziali, è
$ $\prod\limits_{k=1}^{n-1}{\frac{n-k}{n-k+1}}$ $
che è uguale a una divisione tra fattoriali se ci rifletti:
$ $\frac{(n-1)!}{n!}$ $
che è semplificabile a
$ $\frac{1}{n}$ $

Per la domanda fatta da Andreac è fin troppo facile xD quindi ci lascio pensare qualcun altro :)

Spero di non aver fatto errori troppo grandi xD

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Fedecart
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Messaggio da Fedecart » 04 feb 2009, 15:13

Per la domanda di Andreac.
La prima lettera ha probabilità $ \frac{1}{n} $ di arrivare al proprietario. La seconda ha probabilità $ \frac{1}{n-1} $ la terza $ \frac{1}{n-2} $ e così via. La kesima avrà probabilità $ \frac{1}{n-k+1} $.
La probabilità che ogni lettera sia arrivata al proprietario è data dalla moltiplicazione delle proprietà parziali ovvero
$ \prod\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{n-k+1}} $ che è uguale a $ \frac{1}{n!} $. Se n tende all'infinito la probabilità sarà 0 ovvero nessuno riceverà la sua lettera, il che, almeno nella mia testa fa senso.

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