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Pre-IMO...

Inviato: 14 gen 2009, 11:20
da geda
Determinare quante sono le coppie di interi positivi $ (x,y) $ tali che $ x^2=12^{12}+y^2 $.

Inviato: 14 gen 2009, 14:37
da Enrico Leon
Sono 149?

Inviato: 14 gen 2009, 22:09
da Thebear
provo a fare il primo pezzo che mi è venuto di getto:
riscriviamo:
$ x^2 - y^2 = 12^12 $
$ (x+y)*(x-y) = 2^24 * 3^12 $

Ora se questa equazione fosse del tipo $ a*b = 2^24 * 3^12 $ potremmo considerare il numero di soluzioni come (la cardinalità dell'insieme delle parti di un insieme che contenga 24 volte il 2 e 12 volte il 3) meno 1 - ho messo le parentesi per indicare che l'1 va sottratto alla cardinalità. Infatti se do ad $ a $ il valore $ 2^k * 3^h $ ci sarà sicuramente uno e un solo numero $ b=2^(24-k) * 3^(12-h) $ che moltiplicato ad esso da $ 12^12 $. Il meno 1 c'è perchè ad $ a=0 $ non si può associare alcun valore $ b $. Quindi questa equazione dovrebbe avere $ 2^36 $ soluzioni. Da qui però devo ancora pensare a quali condizioni imporre ad $ a $ e $ b $ affinchè possano essere scritti come x+y e x-y. Dato che non sono assolutamente sicuro di tutto ciò che ho scritto :) correggetemi pure. Chiedo scusa per la confusione del ragionamento e della scrittura (è la prima volta che uso il linguaggio Tex)

Inviato: 14 gen 2009, 22:27
da julio14
In LaTeX quando devi trattare un singolo oggetto formato da più caratteri, lo devi racchiudere tra graffe (che si fanno con altgr+shift+parentesiquadra).

Codice: Seleziona tutto

12^12-k
$ 12^12-k $

Codice: Seleziona tutto

12^{12-k}
$ 12^{12-k} $

Inviato: 14 gen 2009, 22:57
da kn
Ma questa non è più che altro algebra?
Il problema si riduce facilmente a contare il numero di coppie $ \displaystyle(a,b)~\text{tali che}~2^a3^b>12^6,~~0<a<24~\text{e}~0\le b\le 12 $
Mi sa che sono fuori strada :lol:

Inviato: 15 gen 2009, 15:26
da Inkio
Thebear ha scritto:provo a fare il primo pezzo che mi è venuto di getto:
riscriviamo:
$ x^2 - y^2 = 12^12 $
$ (x+y)*(x-y) = 2^24 * 3^12 $

Ora se questa equazione fosse del tipo $ a*b = 2^24 * 3^12 $ potremmo considerare il numero di soluzioni come (la cardinalità dell'insieme delle parti di un insieme che contenga 24 volte il 2 e 12 volte il 3) meno 1 - ho messo le parentesi per indicare che l'1 va sottratto alla cardinalità. Infatti se do ad $ a $ il valore $ 2^k * 3^h $ ci sarà sicuramente uno e un solo numero $ b=2^(24-k) * 3^(12-h) $ che moltiplicato ad esso da $ 12^12 $. Il meno 1 c'è perchè ad $ a=0 $ non si può associare alcun valore $ b $. Quindi questa equazione dovrebbe avere $ 2^36 $ soluzioni. Da qui però devo ancora pensare a quali condizioni imporre ad $ a $ e $ b $ affinchè possano essere scritti come x+y e x-y. Dato che non sono assolutamente sicuro di tutto ciò che ho scritto :) correggetemi pure. Chiedo scusa per la confusione del ragionamento e della scrittura (è la prima volta che uso il linguaggio Tex)
Mmmh..penso che l'unica restrizione che hanno x+y e x-y sia che hanno la stessa parità...questo per risponderti a quando dici:"Da qui però devo ancora pensare a quali condizioni imporre..."e poi un'altra cosa:cos'è la cardinalità?..io pensavo di risolverlo così: i divisori di 2^22*3^12 sono (22+1)(12+1)=299...Ora..tra di loro ce ne sarà una metà maggiore, uno"intermedio"diciamo, ed una metà minore.Se contiamo quanto è la metà minore, riusciamo a dire quanti valori diversi puo assumere (x-y) e DOVREMMO vincere....la metà minore è 149, infatti (299-1)/2=149...quindi la risposta, come dice il nostro amico sopra, dovrebbe essere proprio 149...se non erro..[/tex]

Inviato: 15 gen 2009, 15:34
da Inkio
kn ha scritto:Ma questa non è più che altro algebra?
Il problema si riduce facilmente a contare il numero di coppie $ \displaystyle(a,b)~\text{tali che}~2^a3^b>12^6,~~0<a<24~\text{e}~0\le b\le 12 $
Mi sa che sono fuori strada :lol:
Nono, se ho capito bene è giusto..però come fai a contarle velocmente?..a me in poco tempo non è venuto in mente nulla, se non quella cosa che ho fatto sopra..

Inviato: 16 gen 2009, 13:53
da Veluca
oggi durante le interrogazioni di storia sono arrivato a questa conclusione: 156... vi spiego il ragionamento
$ x^2-y^2=12^{12}\\ (x+y)(x-y)=12^{12}\ con\ x,y\in\mathbb{N} $
questo equivale a risolvere il seguente sistema
$ \begin{cases} x+y=3^{i_1}\cdot2^{k_1} \\ x-y=3^{i_2}\cdot2^{k_2} \end{cases} $
dove $ i_1+i_2=12 \vee k_1+k_2=24 $
questo sistema ha soluzione in $ \mathbb{Z} $ solo se $ 3^{i_1}\cdot2^{k_1} $ e $ 3^{i_2}\cdot2^{k_2} $ sono entrambi pari (non è possibile che siano entrambi dispari) di conseguenza bisogna sottrarre al numero di divisori di $ 12^{12} $ ($ 13\cdot25=325 $ il numero dei suoi divisori che non contentengono il fattore 2 (ovvero 13). Il risultato va però diviso per due visto che il primo fattore deve essere maggiore o uguale al secondo. quindi $ \frac{13\cdot25-13}{2}=156 $

Inviato: 16 gen 2009, 14:47
da kn
Io direi di toglierci $ \displaystyle2\cdot13+1 $: non va bene neanche il caso in cui uno dei due k ha la potenza massima di 2, altrimenti l'altro numero sarebbe dispari. Poi bisogna toglierci anche il caso in cui $ \displaystyle(x+y)=(x-y) $, perché in tal caso sarebbe $ \displaystyle y=0 $. Questo è dato solo da $ \displaystyle(x+y)=(x-y)=12^6 $. Alla fine hai $ \displaystyle\frac{13\cdot25-2\cdot13-1}{2}=149 $ 8)

Inviato: 16 gen 2009, 14:59
da Veluca
ok, in effetti hai ragione xD

Inviato: 16 gen 2009, 16:43
da SkZ
Inkio ha scritto:e poi un'altra cosa:cos'è la cardinalità?..
Detta alla carlona il numero di elementi di un insieme (definizione comoda solo per insieme discreti o al piu' numerabili)
http://it.wikipedia.org/wiki/Cardinalità

Inviato: 19 gen 2009, 20:29
da Thebear
ciao a tutti, scusate se non mi sono più fatto vivo ma ho avuto un bel po' di impegni... comunque mi sono reso conto di aver scritto una marea di castronerie nella mia soluzione: innanzitutto, come giustamente mi fa notare Inkio, il numero di coppie (a,b) era uguale al numero di divisori di $ 12^{12} $ e non alla cardinalità ecc. e poi in effetti non era difficile pensare che l'unica condizione da imporre a x e y era la stessa parità... uf!