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Sia X un insieme di numeri interi positivi. Si sa che X contiene almeno un elemento aggiore di 1 e che, tutte le volte che contiene un certo numero n, contiene anche tutti i numeri maggiori di n ad eccezione, eventualmente, dei multipli di n. Quale delle seguenti affermazioni è certamente corretta?

a) X è un insieme finito
b) L'insieme X e l'insieme degli interi positivi che non appartengono ad X sono entrambi infiniti
c) X contiene tutti i numeri primi
d) esiste un numero m tale che X contiene tutti gli interi maggiori di m
e) X è uguale all'insieme di tutti gli interi positivi

Mi sembrano corrette sia la b che la d... quindi sto sbagliando qualcosa!
Edit: ripensandoci si può negare la b quindi risponderei d...

la soluzione da infatti la b, ma vorrei chiederti una cosa sul ragionamento:

secondo la d potrebbe esistere questo m / tutti i numeri positivi interi maggiori di m apparterrebero a X..... ma il problema non aveva affermato che se c'è un numero n>0 appartenente ad X l'insieme contiene tutti i numeri maggiori di n tranne i suoi multipli?

e i suoi multipli non sono infiniti? allora non dovrebbe essere la b?

ti prego di chiarirmi le idee

Non ho capito una cosa... La giusta è la b o la d?
E poi, il testo dice eventualmente... quindi se ti gira puoi inserire in X anche i multipli di n. Quindi l'insieme dei non appartenenti ad X può essere finito!! Prendi per esempio n=2. Metti in X tutti i numeri maggiori di due, multipli o no. Ti resta fuori solo 1. Quindi l'insieme dei non appartenenti a X è finito. Le altre sono più facili da negare e per esclusione arrivi alla d.
Oppure noti per la d che prendendo m=1, n=2 e considerando i multipli, ahi in X tutti gli interi maggiori di 1...
Credo che la risposta sia questa, poi se sbaglio smentitemi!

Sono tutte e 5 false. Dov'è la fonte, please?

Antimateria ha scritto:Sono tutte e 5 false. Dov'è la fonte, please?

Perchè la d è falsa? A me sembra che il mio ragionamento fili... Poi possibilissimo che mi stia sbagliando...

Ops sì, scusa, ho visto male. Comunque mi dici la fonte? Ovvero, quale archimede. E' di quest'anno?

Btw, per dimostrare la d (e non arrivarci per esclusione), considera che se n>1 sta in X, allora n+1 sta in X poiché non è multiplo di n. Così mostri che tutti gli interi superiori a n stanno in X.

non ho ben capito se X contiene o no i multipli di $ $m\in X $
Se l'esclusione e' obbligatoria, allora X contiene tutti i primi maggiori di m, ergo e' infinito, ma non contiene 2m>m e il suo complementare contiene tutti i multipli di m ergo e' infinito pure lui. Quindi l'unica affermazione certamente vera e' la b.

se l'esclusione non e' obbligatoria, allora nessuna affermazione e' certamente vera.

SkZ ha scritto:non ho ben capito se X contiene o no i multipli di $ $m\in X $
Se l'esclusione e' obbligatoria, allora X contiene tutti i primi maggiori di m, ergo e' infinito, ma non contiene 2m>m e il suo complementare contiene tutti i multipli di m ergo e' infinito pure lui. Quindi l'unica affermazione certamente vera e' la b.

se l'esclusione non e' obbligatoria, allora nessuna affermazione e' certamente vera.

Per come la vedo io l'esclusione non è obbligatoria, ci può o meno essere. Detto questo la d è l'unica certamente vera. Infatti se io prendo un qualsiasi numero m>1 allora anche m+1 farà parte dell'insieme, ma se ne fà parte m+1 allora ne farà parte anche m+2 e così via all'infinito e in questo modo contengo anche i multipli delnumero di partenza. Cioè se 2 fa parte di X allora 3 ne fa parte, il che implica che 4 ne faccia parte, nonostante sia un multiplo di 2 e così via all'infinito.

ammettiamo che escludo tutti i multipli di $ ~m>1 $
sia $ $\hat{n}: \forall n\in \mathbb{N}^* \land n>\hat{n} \Rightarrow n\in X $

adesso definisco $ $\hat{m}=m\left(\left\lfloor\frac{\hat{n} }{m}\right\rfloor+1\right) $, che e' un interno maggiore di $ ~\hat{n} $, ma e' anche un multiplo di m, quindi e' da escludere.
Inoltre essendo $ ~\mathbb{N} $ archimedeo, preso qualunque numero naturale esiste sempre un multiplo di m maggiore di questo.
La d non e' certamente vera, puo' esserlo

Di sicuro (ed e' questo quello che viene chiesto) c'e' solo che la prima e' falsa: X contine almeno un elemento diverso dall'unita', ergo contiene almeno anche tutti i primi maggiori di quel numero, quindi X e' infinito.


edit: tolto m diverso da zero che non senso dato che sono positivi

fonte: archimede 1996 triennio

Soluzione: d con la dimostrazione di antimateria

direi proprio la b

edit: non capisco 'eventualmente'

k3v ha scritto:la soluzione da infatti la b
[...]
allora non dovrebbe essere la b?

ti prego di chiarirmi le idee

k3v ha scritto:Soluzione: d

la risposta è la b.
l'insieme è infinito e ovviamente come diceva SKZ anche il suo complementare è infinito.
la d è meno certa di essere vera perchè o si considera come premessa sempre il fatto che X non contenga tutti i 2m oppure si considera il fatto che lì è scritto tutti gli interi maggiori di m.

no, scusate, la b è palesemente falsa. basta prendere N e soddisfo le ipotesi ma non la b.
come ha detto antimateria, la giusta è la d