Giochi Archimede

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k3v
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Giochi Archimede

Messaggio da k3v » 29 ott 2008, 23:24

Sia X un insieme di numeri interi positivi. Si sa che X contiene almeno un elemento aggiore di 1 e che, tutte le volte che contiene un certo numero n, contiene anche tutti i numeri maggiori di n ad eccezione, eventualmente, dei multipli di n. Quale delle seguenti affermazioni è certamente corretta?

a) X è un insieme finito
b) L'insieme X e l'insieme degli interi positivi che non appartengono ad X sono entrambi infiniti
c) X contiene tutti i numeri primi
d) esiste un numero m tale che X contiene tutti gli interi maggiori di m
e) X è uguale all'insieme di tutti gli interi positivi

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Fedecart
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Messaggio da Fedecart » 29 ott 2008, 23:52

Mi sembrano corrette sia la b che la d... quindi sto sbagliando qualcosa!
Edit: ripensandoci si può negare la b quindi risponderei d...
Ultima modifica di Fedecart il 30 ott 2008, 00:05, modificato 1 volta in totale.

k3v
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Messaggio da k3v » 30 ott 2008, 00:04

la soluzione da infatti la b, ma vorrei chiederti una cosa sul ragionamento:

secondo la d potrebbe esistere questo m / tutti i numeri positivi interi maggiori di m apparterrebero a X..... ma il problema non aveva affermato che se c'è un numero n>0 appartenente ad X l'insieme contiene tutti i numeri maggiori di n tranne i suoi multipli?

e i suoi multipli non sono infiniti? allora non dovrebbe essere la b?

ti prego di chiarirmi le idee

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Fedecart
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Messaggio da Fedecart » 30 ott 2008, 00:10

Non ho capito una cosa... La giusta è la b o la d?
E poi, il testo dice eventualmente... quindi se ti gira puoi inserire in X anche i multipli di n. Quindi l'insieme dei non appartenenti ad X può essere finito!! Prendi per esempio n=2. Metti in X tutti i numeri maggiori di due, multipli o no. Ti resta fuori solo 1. Quindi l'insieme dei non appartenenti a X è finito. Le altre sono più facili da negare e per esclusione arrivi alla d.
Oppure noti per la d che prendendo m=1, n=2 e considerando i multipli, ahi in X tutti gli interi maggiori di 1...
Credo che la risposta sia questa, poi se sbaglio smentitemi!

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Messaggio da Antimateria » 30 ott 2008, 00:12

Sono tutte e 5 false. Dov'è la fonte, please?

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Messaggio da Fedecart » 30 ott 2008, 00:13

Antimateria ha scritto:Sono tutte e 5 false. Dov'è la fonte, please?
Perchè la d è falsa? A me sembra che il mio ragionamento fili... Poi possibilissimo che mi stia sbagliando...

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Messaggio da Antimateria » 30 ott 2008, 00:15

Ops sì, scusa, ho visto male. Comunque mi dici la fonte? Ovvero, quale archimede. E' di quest'anno?

Btw, per dimostrare la d (e non arrivarci per esclusione), considera che se n>1 sta in X, allora n+1 sta in X poiché non è multiplo di n. Così mostri che tutti gli interi superiori a n stanno in X.

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Messaggio da SkZ » 30 ott 2008, 01:21

non ho ben capito se X contiene o no i multipli di $ $m\in X $
Se l'esclusione e' obbligatoria, allora X contiene tutti i primi maggiori di m, ergo e' infinito, ma non contiene 2m>m e il suo complementare contiene tutti i multipli di m ergo e' infinito pure lui. Quindi l'unica affermazione certamente vera e' la b.

se l'esclusione non e' obbligatoria, allora nessuna affermazione e' certamente vera.
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stefano9llo
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Messaggio da stefano9llo » 30 ott 2008, 10:31

SkZ ha scritto:non ho ben capito se X contiene o no i multipli di $ $m\in X $
Se l'esclusione e' obbligatoria, allora X contiene tutti i primi maggiori di m, ergo e' infinito, ma non contiene 2m>m e il suo complementare contiene tutti i multipli di m ergo e' infinito pure lui. Quindi l'unica affermazione certamente vera e' la b.

se l'esclusione non e' obbligatoria, allora nessuna affermazione e' certamente vera.
Per come la vedo io l'esclusione non è obbligatoria, ci può o meno essere. Detto questo la d è l'unica certamente vera. Infatti se io prendo un qualsiasi numero m>1 allora anche m+1 farà parte dell'insieme, ma se ne fà parte m+1 allora ne farà parte anche m+2 e così via all'infinito e in questo modo contengo anche i multipli delnumero di partenza. Cioè se 2 fa parte di X allora 3 ne fa parte, il che implica che 4 ne faccia parte, nonostante sia un multiplo di 2 e così via all'infinito.

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Messaggio da SkZ » 30 ott 2008, 14:57

ammettiamo che escludo tutti i multipli di $ ~m>1 $
sia $ $\hat{n}: \forall n\in \mathbb{N}^* \land n>\hat{n} \Rightarrow n\in X $

adesso definisco $ $\hat{m}=m\left(\left\lfloor\frac{\hat{n} }{m}\right\rfloor+1\right) $, che e' un interno maggiore di $ ~\hat{n} $, ma e' anche un multiplo di m, quindi e' da escludere.
Inoltre essendo $ ~\mathbb{N} $ archimedeo, preso qualunque numero naturale esiste sempre un multiplo di m maggiore di questo.
La d non e' certamente vera, puo' esserlo

Di sicuro (ed e' questo quello che viene chiesto) c'e' solo che la prima e' falsa: X contine almeno un elemento diverso dall'unita', ergo contiene almeno anche tutti i primi maggiori di quel numero, quindi X e' infinito.


edit: tolto m diverso da zero che non senso dato che sono positivi
Ultima modifica di SkZ il 30 ott 2008, 17:09, modificato 1 volta in totale.
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k3v
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Messaggio da k3v » 30 ott 2008, 15:20

fonte: archimede 1996 triennio

Soluzione: d con la dimostrazione di antimateria

CoNVeRGe.
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Messaggio da CoNVeRGe. » 30 ott 2008, 15:58

direi proprio la b

edit: non capisco 'eventualmente'

elendil
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Messaggio da elendil » 30 ott 2008, 18:01

k3v ha scritto:la soluzione da infatti la b
[...]
allora non dovrebbe essere la b?

ti prego di chiarirmi le idee
:shock:
k3v ha scritto:Soluzione: d
:?

matteo16
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Messaggio da matteo16 » 30 ott 2008, 20:49

la risposta è la b.
l'insieme è infinito e ovviamente come diceva SKZ anche il suo complementare è infinito.
la d è meno certa di essere vera perchè o si considera come premessa sempre il fatto che X non contenga tutti i 2m oppure si considera il fatto che lì è scritto tutti gli interi maggiori di m.

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Messaggio da salva90 » 30 ott 2008, 21:01

no, scusate, la b è palesemente falsa. basta prendere N e soddisfo le ipotesi ma non la b.
come ha detto antimateria, la giusta è la d
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