lungi dal 7!!!

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Passo89
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lungi dal 7!!!

Messaggio da Passo89 » 19 set 2008, 19:33

determinare quanti sono gli interi di k cifre con k cifre tutte diverse da 7;
dimostrare che la somma di tutti gli inversi dei numeri tutti con k cifre diverse da 7
è minore/uguale a 8 per ogni k
Saluti a tutti i matematici schizzati che mettono
e rispondono a quesiti su questo forum....

Stex19
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Re: lungi dal 7!!!

Messaggio da Stex19 » 19 set 2008, 19:43

Passo89 ha scritto:determinare quanti sono gli interi di k cifre con k cifre tutte diverse da 7;
dimostrare che la somma di tutti gli inversi dei numeri tutti con k cifre diverse da 7
è minore/uguale a 8 per ogni k
il primo punto lo so fare... sono $ 8 \cdot 9^{k-1} $ infatti la prima cifra non puo essere ne zero ne sette

il 2° per ora lo lascio... :D

String
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Messaggio da String » 19 set 2008, 20:46

Il più piccolo numero di k cifre è $ 1\cdot 10^k $. Il suo inverso sarà quindi il termine maggiore. Sia $ a $ il numero degli interi di k cifre tutte diverse da 7. Allora:
$ $ a\cdot \frac {1}{1\cdot 10^k}> $ della somma di tutti gli inversi di tutti i numerri di k cifre, ma se pongo
$ $ a\cdot \frac {1}{1\cdot 10^k}\leq 8 $ allora si ha
$ $ 8\cdot 9^{k-1}\cdot \frac {1}{1\cdot 10^k}\leq 8\Rightarrow 8\cdot 9^{k-1}\leq 8\cdot 10^{k-1} $ che è ovviamente sempre vera. La tesi quindi dovrebbe essere dimostrata.
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)

ico1989
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Messaggio da ico1989 » 20 set 2008, 10:49

String ha scritto:Il più piccolo numero di k cifre è $ 1\cdot 10^k $
$ 1 \cdot 10^{k-1} $ ?

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Algebert
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Messaggio da Algebert » 20 set 2008, 11:59

Si, penso intenda quello :roll: , altrimenti la disuguaglianza alla fine non torna.
E se non ricordo male questo era il primo problema dell'ammissione alla Sant'Anna quest'anno 8) .
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."

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