posto questo problema banale perchè mi viene una risultato diverso da quello delel soluzione.... probabilmente hanno sbagliato loro perchè ho già trovato anche un'altro errore, ma vorrei essere sicuro....
In Canada tutti i cittadini parlano inglese e francese (o tutte e due le lingue). In una certa provincia si sa che il 75% della pololazione parla il francese ed il 48% parla inglese. Qual'è la probabilità che un cittadino scelto a caso parli entrambe le lingue?
problema banale
Dato che la somma delle percentuali non è 100% io ho pensato che contasse due volte le persone che parlano entrambe le lingue, cioè che nella percentuale di coloro che parlano francese fossero comprese anche le persone che parlano anche l'inglese e viceversa. Perciò la percentuale delle persone che parlano tutte e due le lingue è $ (75+48-100) $%=$ 23 $%
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
esatto.... non avevo calcolato non puo esserci gente che non parla nessuna lingua e avevo fatto $ \frac{75}{100} \cdot \frac{48}{100}=36% $%julio14 ha scritto:@Stex19 Se hai fatto il 75% del 48% o il contrario è sbagliato... Semplicemente non hai usato un informazione, e cioè che tutti parlano almeno una lingua. Se no tu cos'avevi fatto?
se però si parlasse di un altro caso, che ammette che alcuni elementi non siano compresi in nessuno dei 2 gruppi sarebbe giusto 36%?
beh si...metti che la lingua madre è l'italiano, il 75% conosce il francese e il 48% l'inglese, a quel punto tu non sai qual'è intersezione fra gli insiemi inglese e francese, sai solo che varia tra il 23% e il 48%, a priori la probabilità che uno a caso parli entrambe le lingue è il prodotto delle due probabilità iniziali.
ok, grazie millejulio14 ha scritto:beh si...metti che la lingua madre è l'italiano, il 75% conosce il francese e il 48% l'inglese, a quel punto tu non sai qual'è intersezione fra gli insiemi inglese e francese, sai solo che varia tra il 23% e il 48%, a priori la probabilità che uno a caso parli entrambe le lingue è il prodotto delle due probabilità iniziali.
Il principio di inclusione-esclusione (che qui espongo solo per il caso particolare di due insiemi finiti, ma in realtà vale per un qualsiasi numero di insiemi) ci dice che, dati due insiemi finiti $ $A_1$ $ e $ $A_2$ $, la cardinalità (cioè il numero degli elementi) dell'unione di essi, che qui (come anche nelle schede olimpiche) indico con $ $|A_1 \cup A_2|$ $, si trova tramite la formula:
$ $|A_1 \cup A_2| = |A_1| + |A_2| - |A_1 \cap A_2|$ $
dove $ $|A_1|$ $ è la cardinalità del primo insieme, $ $|A_2|$ $ quella del secondo, e infine $ $|A_1 \cap A_2|$ $ è il numero di elementi dell'intersezione tra $ $A_1$ $ e $ $A_2$ $ (va sottratta altrimenti tali elementi si conterebbero due volte).
In questo problema, indicando con $ $A_1$ $ l'insieme delle persone che parlano inglese (e quindi $ $|A_1| = 48$ $) e con $ $A_2$ $ quello delle persone che parlano francese (dunque $ $|A_2| = 75$ $), e sapendo che ovviamente $ $|A_1 \cup A_2| = 100$ $, applicando brutalmente tale formula si trova facilmente che $ $|A_1 \cap A_2| = 23$ $.
Dunque, dato che 23 persone su 100 parlano sia inglese che francese, la probabilità cercata è il 23%.
Spero di esservi stato d'aiuto
!
Ciao
Alessio
$ $|A_1 \cup A_2| = |A_1| + |A_2| - |A_1 \cap A_2|$ $
dove $ $|A_1|$ $ è la cardinalità del primo insieme, $ $|A_2|$ $ quella del secondo, e infine $ $|A_1 \cap A_2|$ $ è il numero di elementi dell'intersezione tra $ $A_1$ $ e $ $A_2$ $ (va sottratta altrimenti tali elementi si conterebbero due volte).
In questo problema, indicando con $ $A_1$ $ l'insieme delle persone che parlano inglese (e quindi $ $|A_1| = 48$ $) e con $ $A_2$ $ quello delle persone che parlano francese (dunque $ $|A_2| = 75$ $), e sapendo che ovviamente $ $|A_1 \cup A_2| = 100$ $, applicando brutalmente tale formula si trova facilmente che $ $|A_1 \cap A_2| = 23$ $.
Dunque, dato che 23 persone su 100 parlano sia inglese che francese, la probabilità cercata è il 23%.
Spero di esservi stato d'aiuto
!Ciao
Alessio
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
il principio di inclusione-esclusione è un metodo per calcolare la cardinalità dell'unione di un certo numero $ n $ di insiemi esprimendola in funzione dell'intersezione tra questi.String ha scritto:Non so cosa sia...me lo spiegheresti per favore?Fedecart ha scritto:E' il principio di inclusione-esclusione tra insiemi... giusto?
faccio un esempio per $ n=2 $:
$ |A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B| $
per $ n=3 $ si ha:
$ |A \cup B \cup C|=|A|+|B|+|C|-|A \cap B|-|A \cap C|-|B \cap C|-|A \cap B \cap C| $
è chiaro che se sono disgiunti vale solo la somma delle cardinalità.
inoltre si ha che se B è un singoletto, ovvero possiede solo un elemento,
si ha che $ |A U B|=s(|A|) $
dove s è una funzione iniettiva s:N ---> N che indica il successore di $ n $
Ultima modifica di matteo16 il 07 set 2008, 10:23, modificato 4 volte in totale.