Lancio di un dado

[Nino'89]

Un dado perfettamente bilanciato con facce numerate da 1 a 6 viene lanciato più volte.
a) Qual è la probabilità che lanciandolo 3 volte la somma dei punteggi sia divisibile per 6?
b) Qual è la probabilità che lanciandolo 3 volte la somma dei punteggi ottenuti sia divisibile per 7?
c) Qual è la probabilità che lanciandolo $ n $ volte la somma dei punteggi sia divisibile per 6?
d) Qual è la probabilità che lanciandolo $ n $ volte la somma dei punteggi sia divisibile per 7?

Quello che mi interessa capire di più è come fare a contare i multipli di 6 o di 7 su $ n $ lanci.

[Gatto]

Comunque finiscano i primi due lanci, ti ritroverai con un numero n = k (mod 6) con k compreso tra 0 e 5.
Affinchè aggiungengo a quel numero un numero compreso tra 1 e 6 il tuo risultato sia divisibile per 6, hai esattamente 1/6 di possibilità qualsiasi sia il numero con cui ti sei trovato.

La risposta alla a) ed alla c) dovrebbe essere quindi 1/6

[Gatto]

Per la domanda b:

La massima somma che può uscire tirando 3 dadi è 18, quindi le somme favorevoli sono solo 7 e 14

Per somma 7:
1 + 1 + 5
1 + 2 + 4
1 + 3 + 3
2 + 2 + 3
In totale 3 + 6 + 3 + 3 = 15 casi

Per somma 14:
6 + 6 + 2
6 + 5 + 3
6 + 4 + 4
5 + 5 + 4
In totale 3 + 6 + 3 + 3 = 15 casi

La probabilità è quindi di 30/216 = 5/36

[Haile]

Comunque finiscano i primi due lanci, ti ritroverai con un numero n = k (mod 6) con k compreso tra 0 e 5.

Questa parte l'ho capita ma... mi chiedo: dopo due lanci la probabilità che la somma sia x piuttosto che y è sempre la stessa?

Ad esempio, la probabilità che la somma sia 2 è inferiore a quella che la somma sia 7. Questa cosa influisce sul calcolo della probabilità che il terzo lancia dia un numero divisibile per 6?

[Gatto]

Con qualsiasi numero ti ritrovi al penultimo lancio (che è il totale dei casi possibili), avrai sempre 1/6 di probabilità che l'ultimo numero che esca sia quello che ti serve.

Rispondendo al tuo esempio:
Se ti esce 2, ti serve necessariamente un 4 e quindi hai 1/6 di probabilità favorevole.
Se ti esce 7, ti serve necessariamente un 5 e quindi hai 1/6 di probabilità favorevole.

Similmente per gli altri

[Gatto]

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[Gatto]

Proviamo la d):

Chiamiamo P(n) la probabilità che esca un numero multiplo di 7 dopo n lanci.

Il 1° lancio non sarà mai multiplo di 7. $ P(1) = 0 $

Per il 2°secondo lancio hai, qualsiasi numero sia uscito nel primo, un numero "complementare" che dia come somma 7 su sei numeri possibili. $ P(2) = 1/6 $

Esaminiamo ora il 3° lancio: se il numero uscito nel secondo era 7, la cui probabilità era 1/6, P(3) = 0. Se non era 7, la probabilità sarà 1/6 dei casi possibili.
Quindi $ P(3) = 5/6 1/6 = 5/36. $

Per il 4° lancio ragionando similmente si avrà:
$ P(4) = 31/36 \cdot 1/6 = 31/216 $

Abbiamo quindi $ P(n) = 1/6\cdot(1 - P(n-1)) $

Mi mancano ancora un paio di passaggi però per finire mi sa...

[SkZ]

per rispondere ad Haile, se si vuole essere prolissi, se fai un controllo di come si distribuiscono i casi modulo 6, noti che tutti hanno probabilita' 1/6.
1 mod 6 (il 7) ha 6 casi
2 mod 6 (2 piu' 8 ) ha 1+5=6 casi
...

[Haile]

per rispondere ad Haile, se si vuole essere prolissi, se fai un controllo di come si distribuiscono i casi modulo 6, noti che tutti hanno probabilita' 1/6.
1 mod 6 (il 7) ha 6 casi
2 mod 6 (2 piu' ha 1+5=6 casi
...

Ah, ecco.

Ok, grazie a gatto e a SkZ per la spiegazione

[SkZ]

da un punto di vist e' anche logico.
Un dado da 6 copre tutti i 6 casi diversi modulo 6 (ergo la loro probabilita' e' uniforme). Aggiungendo un altro dado da 6 devo per forza aumentare uniformemente tutti i casi modulo6, dato che non ho casi preferenziali.