sicuramente semplice

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ico1989
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sicuramente semplice

Messaggio da ico1989 » 21 ago 2008, 20:41

Per ogni n, $ $n \choose k $ $$ $ <= \frac{1}{2} *2^n$ $ e la disuguaglianza è stretta per almeno un k se n ≥ 2.
Voi come lo dimostrate? Soprattutto la seconda parte.
Grazie mille :)

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SkZ
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Messaggio da SkZ » 21 ago 2008, 20:55

dato che il binomiale vuole $ $0\leq k\leq n $, la seconda parte e' abbastanza facile dato che per $ $k=0 \lor n $ il binomiale vale 1
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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ico1989
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Messaggio da ico1989 » 21 ago 2008, 21:50

SkZ ha scritto:dato che il binomiale vuole $ $0\leq k\leq n $, la seconda parte e' abbastanza facile dato che per $ $k=0 \lor n $ il binomiale vale 1
Ho capito :)

eli9o
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Messaggio da eli9o » 21 ago 2008, 22:34

Si potrebbe anche dimostrare che la disuguaglianza stretta vale per ogni $ k $ (ovviamente compreso tra 0 ed n) se si prende $ n>2 $ :roll:

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SkZ
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Messaggio da SkZ » 22 ago 2008, 01:19

il bello e' beccare tutti i modi. ce n'e' per tutti i gusti.
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Messaggio da salva90 » 22 ago 2008, 08:54

fatto noto:

$ \displaystyle\sum_{k~dispari}{n\choose k}=\sum_{k~pari}{n\choose k}=2^{n-1} $

visto che questo fatto implica direttamente la tesi, dimostratelo :wink:
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Messaggio da mod_2 » 22 ago 2008, 12:41

salva90 ha scritto:fatto noto:

$ \displaystyle\sum_{k~dispari}{n\choose k}=\sum_{k~pari}{n\choose k}=2^{n-1} $

visto che questo fatto implica direttamente la tesi, dimostratelo :wink:
Si può per caso vederlo con il triangolo di Tartaglia?
Appassionatamente BTA 197!

eli9o
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Messaggio da eli9o » 22 ago 2008, 13:32

Per gli n pari l'idea va bene, il problema affrontandolo così si incontra trattando gli n dispari...

ico1989
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Messaggio da ico1989 » 22 ago 2008, 13:41

Si tratta $ $(1-1)^n$ $ con il binomio di Newton

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Messaggio da SkZ » 22 ago 2008, 15:55

ma ti serve anche $ $(1+1)^n=2^n $
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Evelynn
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Messaggio da Evelynn » 22 ago 2008, 16:41

Ok.. Scusate l'ignoranza, ma lo siamo tutti prima che qualcuno ci insegni.. Cosa vuol dire disuguaglianza stretta? :oops:
Musica est exercitium aritmeticae occultum nescientis se numerari animi. (Leibniz)

La matematica può essere definita come la scienza in cui non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando, né se ciò che diciamo è vero. (B. Russell)

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Messaggio da ico1989 » 22 ago 2008, 16:44

Solo $ $<$ $ senza $ $=$ $ :)

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Messaggio da SkZ » 24 ago 2008, 05:55

si ha anche che

piace l'induzione?
$ $\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\leq 2^{n-1}+2^{n-1}=2^{n} $

posto $ $m=\big\lfloor \frac{n}{2} \big\rfloor $
$ $\binom{n}{k}\leq \binom{n}{m}=2^n\prod_{k=1}^{n-m}\left(1-\frac{1}{2k}\right)\leq 2^n\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)=2^{n-1} $

per $ $n=2m+1 $
$ $\binom{n}{k}\leq\sum_{k=0}^m\binom{n}{k}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^{n-1} $
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