sicuramente semplice
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Per ogni n, $ $n \choose k $ $$ $ <= \frac{1}{2} *2^n$ $ e la disuguaglianza è stretta per almeno un k se n ≥ 2.
Voi come lo dimostrate? Soprattutto la seconda parte.
Grazie mille
Voi come lo dimostrate? Soprattutto la seconda parte.
Grazie mille
dato che il binomiale vuole $ $0\leq k\leq n $, la seconda parte e' abbastanza facile dato che per $ $k=0 \lor n $ il binomiale vale 1
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Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
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Ok.. Scusate l'ignoranza, ma lo siamo tutti prima che qualcuno ci insegni.. Cosa vuol dire disuguaglianza stretta?
Musica est exercitium aritmeticae occultum nescientis se numerari animi. (Leibniz)
La matematica può essere definita come la scienza in cui non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando, né se ciò che diciamo è vero. (B. Russell)
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si ha anche che
piace l'induzione?
$ $\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\leq 2^{n-1}+2^{n-1}=2^{n} $
posto $ $m=\big\lfloor \frac{n}{2} \big\rfloor $
$ $\binom{n}{k}\leq \binom{n}{m}=2^n\prod_{k=1}^{n-m}\left(1-\frac{1}{2k}\right)\leq 2^n\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)=2^{n-1} $
per $ $n=2m+1 $
$ $\binom{n}{k}\leq\sum_{k=0}^m\binom{n}{k}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^{n-1} $
piace l'induzione?
$ $\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\leq 2^{n-1}+2^{n-1}=2^{n} $
posto $ $m=\big\lfloor \frac{n}{2} \big\rfloor $
$ $\binom{n}{k}\leq \binom{n}{m}=2^n\prod_{k=1}^{n-m}\left(1-\frac{1}{2k}\right)\leq 2^n\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)=2^{n-1} $
per $ $n=2m+1 $
$ $\binom{n}{k}\leq\sum_{k=0}^m\binom{n}{k}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^{n-1} $
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