sicuramente semplice

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ico1989
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sicuramente semplice

Messaggio da ico1989 »

Per ogni n, $ $n \choose k $ $$ $ <= \frac{1}{2} *2^n$ $ e la disuguaglianza è stretta per almeno un k se n ≥ 2.
Voi come lo dimostrate? Soprattutto la seconda parte.
Grazie mille :)
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SkZ
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Messaggio da SkZ »

dato che il binomiale vuole $ $0\leq k\leq n $, la seconda parte e' abbastanza facile dato che per $ $k=0 \lor n $ il binomiale vale 1
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ico1989
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Messaggio da ico1989 »

SkZ ha scritto:dato che il binomiale vuole $ $0\leq k\leq n $, la seconda parte e' abbastanza facile dato che per $ $k=0 \lor n $ il binomiale vale 1
Ho capito :)
eli9o
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Messaggio da eli9o »

Si potrebbe anche dimostrare che la disuguaglianza stretta vale per ogni $ k $ (ovviamente compreso tra 0 ed n) se si prende $ n>2 $ :roll:
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SkZ
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Messaggio da SkZ »

il bello e' beccare tutti i modi. ce n'e' per tutti i gusti.
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salva90
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Messaggio da salva90 »

fatto noto:

$ \displaystyle\sum_{k~dispari}{n\choose k}=\sum_{k~pari}{n\choose k}=2^{n-1} $

visto che questo fatto implica direttamente la tesi, dimostratelo :wink:
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mod_2
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Messaggio da mod_2 »

salva90 ha scritto:fatto noto:

$ \displaystyle\sum_{k~dispari}{n\choose k}=\sum_{k~pari}{n\choose k}=2^{n-1} $

visto che questo fatto implica direttamente la tesi, dimostratelo :wink:
Si può per caso vederlo con il triangolo di Tartaglia?
Appassionatamente BTA 197!
eli9o
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Messaggio da eli9o »

Per gli n pari l'idea va bene, il problema affrontandolo così si incontra trattando gli n dispari...
ico1989
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Messaggio da ico1989 »

Si tratta $ $(1-1)^n$ $ con il binomio di Newton
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SkZ
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Messaggio da SkZ »

ma ti serve anche $ $(1+1)^n=2^n $
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Evelynn
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Messaggio da Evelynn »

Ok.. Scusate l'ignoranza, ma lo siamo tutti prima che qualcuno ci insegni.. Cosa vuol dire disuguaglianza stretta? :oops:
Musica est exercitium aritmeticae occultum nescientis se numerari animi. (Leibniz)

La matematica può essere definita come la scienza in cui non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando, né se ciò che diciamo è vero. (B. Russell)
ico1989
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Messaggio da ico1989 »

Solo $ $<$ $ senza $ $=$ $ :)
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SkZ
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Messaggio da SkZ »

si ha anche che

piace l'induzione?
$ $\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\leq 2^{n-1}+2^{n-1}=2^{n} $

posto $ $m=\big\lfloor \frac{n}{2} \big\rfloor $
$ $\binom{n}{k}\leq \binom{n}{m}=2^n\prod_{k=1}^{n-m}\left(1-\frac{1}{2k}\right)\leq 2^n\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)=2^{n-1} $

per $ $n=2m+1 $
$ $\binom{n}{k}\leq\sum_{k=0}^m\binom{n}{k}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^{n-1} $
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