problema difficilozzo con estensione...
-
- Messaggi: 73
- Iscritto il: 22 dic 2007, 11:36
- Località: La Higuera
problema difficilozzo con estensione...
L'altra sera mi chiama mio cugino che sta giocando d'azzardo (è una storia vera) e mi chiede spassionatamente... "Senti, tra noi amici ci stiamo chiedendo una cosa...
$ (i) $ lanciando $ 8 $ volte un dado, qual è la probabilità che escano tutti e sei i numeri?"
Mentre cerco di risolverlo mi viene in mente un'altra cosa:
$ (ii) $ si può trovare una formula generale per $ n $ lanci? (chiaramente $ n\geq6 $)
La parte $ (ii) $ avverto che non è punto semplice e ci si accontenta anche di una forma approssimata...
Vale qualsiasi metodo di risoluzione (anche di provare a lanciare i dadi)...
A voi... aspetto fiducioso...
$ (i) $ lanciando $ 8 $ volte un dado, qual è la probabilità che escano tutti e sei i numeri?"
Mentre cerco di risolverlo mi viene in mente un'altra cosa:
$ (ii) $ si può trovare una formula generale per $ n $ lanci? (chiaramente $ n\geq6 $)
La parte $ (ii) $ avverto che non è punto semplice e ci si accontenta anche di una forma approssimata...
Vale qualsiasi metodo di risoluzione (anche di provare a lanciare i dadi)...
A voi... aspetto fiducioso...
Il gallo Samurai quando è a -zaccheta!!- metà del tempo... prepara -wataaah!!!- il doppio delle ricette... come?
- exodd
- Messaggi: 728
- Iscritto il: 09 mar 2007, 19:46
- Località: sulle pendici della provincia più alta d'europa
se mettiamo la condizione che i primi 6 numeri devono essere i numeri 1,2,3,4,5,6, non necessariamente in ordine, la probabilità è
(5*4*3*2*1)/(6*6*6*6*6)
visto che non devono essere tra i primi 6 necessariamente, bisogna moltiplicare la frazione di prima per le combinazioni di 6 elementi in n posti...
o almeno è la prima cosa che mi è venuta in mente...
(5*4*3*2*1)/(6*6*6*6*6)
visto che non devono essere tra i primi 6 necessariamente, bisogna moltiplicare la frazione di prima per le combinazioni di 6 elementi in n posti...
o almeno è la prima cosa che mi è venuta in mente...
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
-
- Messaggi: 73
- Iscritto il: 22 dic 2007, 11:36
- Località: La Higuera
Se abbiamo 6 tiri abbiamo 6! casi. Se ne aggiungiamo 1 tiro, quelli di prima continuano ad essere validi (*6 volte) ma recuperiamo una serie di tiri.
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]
Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
-
- Messaggi: 73
- Iscritto il: 22 dic 2007, 11:36
- Località: La Higuera
Uhm... non capisco dove vai a parare...SkZ ha scritto:Se abbiamo 6 tiri abbiamo 6! casi. Se ne aggiungiamo 1 tiro, quelli di prima continuano ad essere validi (*6 volte) ma recuperiamo una serie di tiri.
Il gallo Samurai quando è a -zaccheta!!- metà del tempo... prepara -wataaah!!!- il doppio delle ricette... come?
Ok ci provo, magari sono banalità che avete già pensato =)
Intanto i casi possibili sono permutazioni con ripetizione di 6 elementi in 8 posti.. Poiché per ogni posto ci sono 6 numeri possibili, il numero di casi possibili mi pare 6 alla 8, quindi 1.679.616..
Il numero di casi favorevoli lo possiamo calcolare tenendo fissi i primi 6 posti e disponendo 6 elementi nei restanti 2, quindi le disposizioni di 6 elementi in 2 posti mi pare siano 6*5=30. Però siccome conta anche l'ordine in cui possiamo mettere i 2 posti restanti, i casi diventano 30*28=840.
Quindi alla fine la probabilità di avere tutti i 6 numeri con 8 lanci dovrebbe essere 840/1679616, più o meno uguale a 5 per dieci alla meno 4, quindi dello 0,05%.
In generale, il numero dei casi possibili è 6 alla n. Il numero di casi favorevoli sono le disposizioni di 6 elementi in n-6 posti, e l'ordine di quell'n-6 posti restanti non so.. provando i vari casi alla fine io ho fatto una cosa tipo (n-1)+(n-2)+(n-3)+...+1 ma non mi piace molto..
Ho detto delle cavolate? =D
Intanto i casi possibili sono permutazioni con ripetizione di 6 elementi in 8 posti.. Poiché per ogni posto ci sono 6 numeri possibili, il numero di casi possibili mi pare 6 alla 8, quindi 1.679.616..
Il numero di casi favorevoli lo possiamo calcolare tenendo fissi i primi 6 posti e disponendo 6 elementi nei restanti 2, quindi le disposizioni di 6 elementi in 2 posti mi pare siano 6*5=30. Però siccome conta anche l'ordine in cui possiamo mettere i 2 posti restanti, i casi diventano 30*28=840.
Quindi alla fine la probabilità di avere tutti i 6 numeri con 8 lanci dovrebbe essere 840/1679616, più o meno uguale a 5 per dieci alla meno 4, quindi dello 0,05%.
In generale, il numero dei casi possibili è 6 alla n. Il numero di casi favorevoli sono le disposizioni di 6 elementi in n-6 posti, e l'ordine di quell'n-6 posti restanti non so.. provando i vari casi alla fine io ho fatto una cosa tipo (n-1)+(n-2)+(n-3)+...+1 ma non mi piace molto..
Ho detto delle cavolate? =D
-
- Messaggi: 214
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Catania
Non so se il resto è giusto comunque nel numero di casi favorevoli non bisogna contare le disposizioni di 6 elementi in due posti ma piuttosto considerare che si deve scegliere 2 volte un elemento a caso da un insieme di 6 (in pratica le combinazioni sono 36 e non 30 perchè potrebbe anche uscirti due volte 6)....Evelynn ha scritto:Ok ci provo, magari sono banalità che avete già pensato =)
Intanto i casi possibili sono permutazioni con ripetizione di 6 elementi in 8 posti.. Poiché per ogni posto ci sono 6 numeri possibili, il numero di casi possibili mi pare 6 alla 8, quindi 1.679.616..
Il numero di casi favorevoli lo possiamo calcolare tenendo fissi i primi 6 posti e disponendo 6 elementi nei restanti 2, quindi le disposizioni di 6 elementi in 2 posti mi pare siano 6*5=30. Però siccome conta anche l'ordine in cui possiamo mettere i 2 posti restanti, i casi diventano 30*28=840.
Ho detto delle cavolate? =D
Sì, ho capito, hai ragione. E' perché sono disposizioni con ripetizione, e quindi 6 alla 2 che dà 36, io le avevo fatte senza ripetizione.
Una correzione: i casi possibili non sono permutazioni, ma disposizioni con ripetizione, ho sbagliato il termine.
E ho scoperto da dove viene il 28: sono combinazioni di 8 elementi in 2 posti (che ha anche senso logicamente) e quindi in generale sono combinazioni di n elementi in n-6 posti.
Sarà giusto? =D
Una correzione: i casi possibili non sono permutazioni, ma disposizioni con ripetizione, ho sbagliato il termine.
E ho scoperto da dove viene il 28: sono combinazioni di 8 elementi in 2 posti (che ha anche senso logicamente) e quindi in generale sono combinazioni di n elementi in n-6 posti.
Sarà giusto? =D
- exodd
- Messaggi: 728
- Iscritto il: 09 mar 2007, 19:46
- Località: sulle pendici della provincia più alta d'europa
se provassimo a fare all'incontrario?
cioè calcolare la probabilità che NON escano tutti i 6 numeri
possiamo considerare tutti i possibili n lanci dove non compare un certo numero (per esempio il 6) che sono $ 5^n $, quindi moltiplicarlo per 6 e dividerlo per $ 6^n $
quindi dobbiamo di nuovo dividere per 5 perchè ogni lancio l'abbiamo considerato 5 volte
quindi basta fare 1-p e troviamo la nosta probabilità
penso (e spero) sia giusto...
cioè calcolare la probabilità che NON escano tutti i 6 numeri
possiamo considerare tutti i possibili n lanci dove non compare un certo numero (per esempio il 6) che sono $ 5^n $, quindi moltiplicarlo per 6 e dividerlo per $ 6^n $
quindi dobbiamo di nuovo dividere per 5 perchè ogni lancio l'abbiamo considerato 5 volte
quindi basta fare 1-p e troviamo la nosta probabilità
penso (e spero) sia giusto...
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
si puo' ancha fare cosi': il caso dei 6 lanci e' fissato: 6! casi.
7 lanci vuol dire aggiungere un numero in una delle posizioni possibili al caso con 6 casi.
7 lanci vuol dire aggiungere un numero in una delle posizioni possibili al caso con 6 casi.
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]
Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
-
- Messaggi: 73
- Iscritto il: 22 dic 2007, 11:36
- Località: La Higuera
Oltre alle correzioni già fatte mi pare di capire che conti solo come $ 1 $ la sestina di numeri tutti diversi... Occhio (0)!!! Non conta come $ 1 $ perchè, ad esempio, la sestina $ 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 $ è ben diversa da quella $ 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 $...Evelynn ha scritto: Il numero di casi favorevoli lo possiamo calcolare tenendo fissi i primi 6 posti e disponendo 6 elementi nei restanti 2, quindi le disposizioni di 6 elementi in 2 posti mi pare siano 6*5=30. Però siccome conta anche l'ordine in cui possiamo mettere i 2 posti restanti, i casi diventano 30*28=840.
Quindi alla fine la probabilità di avere tutti i 6 numeri con 8 lanci dovrebbe essere 840/1679616, più o meno uguale a 5 per dieci alla meno 4, quindi dello 0,05%.
In ogni caso, anche se conti pure i $ 6! $ modi di disporre $ 6 $ numeri in $ 6 $ posizioni e lo moltiplichi per il tuo risultato, sfori perchè conti più volte combinazioni uguali...
Se ti dico perchè non vale (ed è già un suggerimento... )!!!
Di fondo non è una cattiva idea, tutt'altro...exodd ha scritto:se provassimo a fare all'incontrario?
cioè calcolare la probabilità che NON escano tutti i 6 numeri
possiamo considerare tutti i possibili n lanci dove non compare un certo numero (per esempio il 6) che sono , quindi moltiplicarlo per 6 e dividerlo per
quindi dobbiamo di nuovo dividere per 5 perchè ogni lancio l'abbiamo considerato 5 volte
quindi basta fare 1-p e troviamo la nosta probabilità
Il problema è che in questo caso è più difficile calcolare la $ 1-p(n) $...
Il gallo Samurai quando è a -zaccheta!!- metà del tempo... prepara -wataaah!!!- il doppio delle ricette... come?
Questo è vero, errore mio..quicktimeplayers ha scritto:Oltre alle correzioni già fatte mi pare di capire che conti solo come $ 1 $ la sestina di numeri tutti diversi... Occhio (0)!!! Non conta come $ 1 $ perchè, ad esempio, la sestina $ 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 $ è ben diversa da quella $ 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 $...
..Questo invece non mi è chiaro perché.. O.o'quicktimeplayers ha scritto:In ogni caso, anche se conti pure i $ 6! $ modi di disporre $ 6 $ numeri in $ 6 $ posizioni e lo moltiplichi per il tuo risultato, sfori perchè conti più volte combinazioni uguali...
Musica est exercitium aritmeticae occultum nescientis se numerari animi. (Leibniz)
La matematica può essere definita come la scienza in cui non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando, né se ciò che diciamo è vero. (B. Russell)
La matematica può essere definita come la scienza in cui non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando, né se ciò che diciamo è vero. (B. Russell)
prendendo le dovute precauzioni... bon, facciamo 'sti calcoli.SkZ ha scritto:si puo' ancha fare cosi': il caso dei 6 lanci e' fissato: 6! casi.
7 lanci vuol dire aggiungere un numero in una delle posizioni possibili al caso con 6 casi.
Fissiamo sei lanci, 6! possibilità, per esempio 123456. Ora posso mettere un numero, per esempio il 5, in 7 posizioni. A questo punto dividiamo per 2, perchè abbiamo contato due volte ogni combinazione (1235456-1235456;1234556-1234556). Siamo a $ $\frac{6\cdot7\cdot6!}2=3\cdot7! $ possibilità. Ora abbiamo 2 casi:
1. il prossimo lancio non è un 5, abbiamo quindi 5 possibilità per la cifra e 8 posizioni dove metterla, quindi $ $3\cdot5\cdot8! $ possibilità. Ora abbiamo ancora contato 2 volte ogni sequenza, quindi $ $3\cdot4\cdot5\cdot7! $.
2. il prossimo lancio è un 5, abbiamo 8 posizioni, e 3 ripetizioni (l'ultimo 5 può essere uno dei 3 presenti) $ $\frac{8\cdot3\cdot7!}3=8! $
Totale $ $3\cdot4\cdot5\cdot7!+8!=(60+8)\cdot7!=57120 $
Per il caso generale o si ha un'altra idea o si studia questo metodo all'aumentare dei lanci, cosa che ora non ho il tempo di fare che ho una pizza che mi aspetta. byes!
EDIT: ok, mangiando la pizza ci ho ripensato e ho contato troppe volte alcune combinazioni. Vedo se si può correggere senza mandare tutto in fumo.
EDIT2: ok, ora dovrebbe essere giusto. E' però un gran casino, quindi è facile che mi sia scappato ancora qualche numero.
-
- Messaggi: 73
- Iscritto il: 22 dic 2007, 11:36
- Località: La Higuera
Uhm... pizza a parte direi che non è giusto... infatti $ \frac{57120}{6^8}}=0,034 $ e mi duole dire che non è il risultato cercato...julio14 ha scritto: Totale $ $3\cdot4\cdot5\cdot7!+8!=(60+8)\cdot7!=57120 $
Per il caso generale o si ha un'altra idea o si studia questo metodo all'aumentare dei lanci, cosa che ora non ho il tempo di fare che ho una pizza che mi aspetta. byes!