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9 punti in Z^3

Inviato: 12 ago 2008, 17:20
da Carlein
Dati 9 punti lattice nello spazio euclideo, dimostrare che ne esistono almeno due tali che il segmento che li congiunge incontra un nuovo punto lattice.
Essendo un SNS potrebbe essere apparso da queste parti, però io non l'ho visto.
Piuttosto semplice, quindi chi lo brucia nella sua testolina in un secondo,fa cosa buona e giusta a lasciarlo agli altri. :D
p.s: punto lattice:punto avente tutte le coordinate intere;come da titolo.

Inviato: 15 ago 2008, 18:21
da jordan
Weila, sarebbe simpatico se rispondesse "mod_2" :D :D :D (che saluto)

Inviato: 15 ago 2008, 20:53
da mod_2
jordan ha scritto:Weila, sarebbe simpatico se rispondesse "mod_2" :D :D :D (che saluto)
Innanzitutto ricambio il saluto: ciao jordan!

Seguendo il tuo suggerimento, ho trovato che il 9 poteva essere benissimo sostituito con il 5, potrebbe essere vero? O ho dimenticato qualcosa?

Inviato: 15 ago 2008, 21:12
da salva90
mod_2 ha scritto: Seguendo il tuo suggerimento, ho trovato che il 9 poteva essere benissimo sostituito con il 5, potrebbe essere vero?
assolutamente no!

ne servono almeno 9!

per esempio guarda i seguenti 8 punti:

(0, 0, 0)
(1, 0, 0)
(0, 1, 0)
(1, 1, 0)
(0, 0, 1)
(1, 0, 1)
(0, 1, 1)
(1, 1, 1)

non ne esistono due tali che in mezzo a loro ci sia un altro 'punto intero' :wink:

Inviato: 15 ago 2008, 21:18
da EUCLA
Prima che qualcuno si scervelli a capir cosa c'era scritto cancello le cavolate che conteneva il post.

Inviato: 15 ago 2008, 21:19
da EvaristeG
prendi i punti
(0,0,0) (1,0,0) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)
...

edit: hmm ... già detto ... piuttosto, eucla, non ho capito cosa tu voglia dire...

Inviato: 15 ago 2008, 21:37
da Pigkappa
mod_2 ha scritto:
jordan ha scritto:Weila, sarebbe simpatico se rispondesse "mod_2" :D :D :D (che saluto)
Innanzitutto ricambio il saluto: ciao jordan!

Seguendo il tuo suggerimento, ho trovato che il 9 poteva essere benissimo sostituito con il 5, potrebbe essere vero? O ho dimenticato qualcosa?
Sostituisci il 9 con il 5, togli una dimensione e... Hai trovato un esercizio dello stage di Parma! :lol:

Inviato: 15 ago 2008, 21:48
da EUCLA
EvaristeG ha scritto:prendi i punti
(0,0,0) (1,0,0) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)
...

edit: hmm ... già detto ... piuttosto, eucla, non ho capito cosa tu voglia dire...
Lascia fare vah, che ho detto cavolate. Avevo letto piano invece che spazio.
Apparte che mi sa che è una cavolata anche sul piano :?

Re: 9 punti in Z^3

Inviato: 15 ago 2008, 21:54
da mod_2
Carlein ha scritto:Dati 9 punti lattice nello spazio euclideo...
Come ha detto Pig il mio errore sta nel aver sempre ragionato su un piano mentre Carlein aveva scritto bello e chiaro "spazio" :oops:

Allora, il segmento che unisce due punti lattice passa ancora per un punto lattice se le differenze delle rispettive 3 coordinate dei due punti sono tutti pari.

In mod_2 (come ha scritto salva):
(0, 0, 0)
(1, 0, 0)
(0, 1, 0)
(1, 1, 0)
(0, 0, 1)
(1, 0, 1)
(0, 1, 1)
(1, 1, 1)
non ne esistono due tali che in mezzo a loro ci sia un altro punto lattice perché facendo la differenza delle coordinate di due punti qualsiasi di questi otto non otteremo mai (0,0,0) (mod 2). Il nono punto, invece, è per forza uguale a uno di questi otto e quindi in mezzo a questi due punti "congrui" (mod 2) c'è per forza un punto lattice.

Re: 9 punti in Z^3

Inviato: 15 ago 2008, 22:59
da matteo16
mod_2 ha scritto:
Carlein ha scritto:Dati 9 punti lattice nello spazio euclideo...
Come ha detto Pig il mio errore sta nel aver sempre ragionato su un piano mentre Carlein aveva scritto bello e chiaro "spazio" :oops:

Allora, il segmento che unisce due punti lattice passa ancora per un punto lattice se le differenze delle rispettive 3 coordinate dei due punti sono tutti pari.

In mod_2 (come ha scritto salva):
(0, 0, 0)
(1, 0, 0)
(0, 1, 0)
(1, 1, 0)
(0, 0, 1)
(1, 0, 1)
(0, 1, 1)
(1, 1, 1)
non ne esistono due tali che in mezzo a loro ci sia un altro punto lattice perché facendo la differenza delle coordinate di due punti qualsiasi di questi otto non otteremo mai (0,0,0) (mod 2). Il nono punto, invece, è per forza uguale a uno di questi otto e quindi in mezzo a questi due punti "congrui" (mod 2) c'è per forza un punto lattice.
ragazzi come mai fate esempi solo di numeri dove compaia l'1 e lo 0?
forse ho capito male io, anzi sicuramente, ma possono esserci coordinate espresse da numeri interi qualunque giusto?
mi sono un po' perso. non capisco come mai la differenza tra le coordinate di uno e le coordinate dell'altro deve essere pari.
capisco per gli esmpi con 1 e 0
ma se avessimo i due punti (0,0,0) e (3,3,3) la loro differenza sarebbe dispari e mi sembra che in mezzo ci siano altri punti lattice.
aiutatemi a capire
thank you :D

Inviato: 15 ago 2008, 23:10
da EvaristeG
Infatti c'è scritta una mezza cavolata...
allora, tu vuoi dimostrare che, se ci sono 9 punti, succede quella cosa lì.
Ok, allora osservi che questo fatto è vero:
prendiamo due punti a coordinate intere (a,b,c) e (p,q,r), se a-p, b-q, c-r sono tutti e tre pari, allora esiste un punto sul segmento tra questi due che ha ancora coordinate intere
(e ti inviterei nn solo ad osservarlo, ma a dimostrarlo)
Dopo di che dimostri che, se ci sono 9 punti diversi, ce ne sono due che rispettano questa condizione.
Come fai? consideri semplicemente le coordinate modulo 2, visto che in fondo vuoi trovare due punti in cui le due coordinate x hanno la stessa parità (entrambe pari o entrambe dispari), le coordinate y anche e le coordinate z pure. Nota che non ti serve che siano 3 coordinate tutte pari o tutte dispari, semplicemente di serve che, se scrivi P e D al posto dei numeri a seconda che siano pari o dispari, due dei tuoi punti diano luogo alla stessa stringa. Ora, puoi fare 8 stringhe da 3 con i simboli P e D, ma hai nove punti, quindi hai una stringa che è associata a due punti.

Riassumendo, tu dimostri che:
9 punti ==> due hanno differenza tra le coordinate pari==> tra questi due ce n'è un altro a coord intere

Non funziona al contrario: non è detto che, se tra due punti ce n'è almeno uno a coord intere, allora la differenza tra le coordinate è pari...questo è vero solo se tra i due punti c'è un numero dispari di punti a coordinate intere.

Chiaro?

PS: Gli 0 e gli 1 prendono il posto dei P e dei D, se si usa la riduzione modulo 2 delle coordinate, che è un modo complicato per dire che si guarda se sono pari o dispari.

PPS: non si dice "lattice" ... lattice in inglese vuol dire reticolo ... lattice point vuol dire punto del reticolo... i punti a coordinate intere formano quello che si chiama $ \mathbb{Z} $-reticolo o reticolo intero o reticolo dei punti a coordinate intere (ma va?).

Inviato: 15 ago 2008, 23:19
da matteo16
EvaristeG ha scritto:Infatti c'è scritta una mezza cavolata...
allora, tu vuoi dimostrare che, se ci sono 9 punti, succede quella cosa lì.
Ok, allora osservi che questo fatto è vero:
prendiamo due punti a coordinate intere (a,b,c) e (p,q,r), se a-p, b-q, c-r sono tutti e tre pari, allora esiste un punto sul segmento tra questi due che ha ancora coordinate intere
(e ti inviterei nn solo ad osservarlo, ma a dimostrarlo)
Dopo di che dimostri che, se ci sono 9 punti diversi, ce ne sono due che rispettano questa condizione.
Come fai? consideri semplicemente le coordinate modulo 2, visto che in fondo vuoi trovare due punti in cui le due coordinate x hanno la stessa parità (entrambe pari o entrambe dispari), le coordinate y anche e le coordinate z pure. Nota che non ti serve che siano 3 coordinate tutte pari o tutte dispari, semplicemente di serve che, se scrivi P e D al posto dei numeri a seconda che siano pari o dispari, due dei tuoi punti diano luogo alla stessa stringa. Ora, puoi fare 8 stringhe da 3 con i simboli P e D, ma hai nove punti, quindi hai una stringa che è associata a due punti.

Riassumendo, tu dimostri che:
9 punti ==> due hanno differenza tra le coordinate pari==> tra questi due ce n'è un altro a coord intere

Non funziona al contrario: non è detto che, se tra due punti ce n'è almeno uno a coord intere, allora la differenza tra le coordinate è pari...questo è vero solo se tra i due punti c'è un numero dispari di punti a coordinate intere.

Chiaro?

PS: Gli 0 e gli 1 prendono il posto dei P e dei D, se si usa la riduzione modulo 2 delle coordinate, che è un modo complicato per dire che si guarda se sono pari o dispari.

PPS: non si dice "lattice" ... lattice in inglese vuol dire reticolo ... lattice point vuol dire punto del reticolo... i punti a coordinate intere formano quello che si chiama $ \mathbb{Z} $-reticolo o reticolo intero o reticolo dei punti a coordinate intere (ma va?).
innanzitutto grazie per la spiegazione che mi ha chiarito molte cose :)
una cosa non capisco: non mi è chiaro cosa intendi per P e D

Inviato: 15 ago 2008, 23:30
da Pigkappa
Pari e Dispari !

Inviato: 15 ago 2008, 23:36
da SkZ
Pari e Dispari ;)

Inviato: 15 ago 2008, 23:51
da EvaristeG
Se hai il punto (3,4,5) lo trasformi in (D,P,D) ... chiaro? ma anche (1,2,7) diventa (D,P,D)...