Esercizio facile. Tombola!
Esercizio facile. Tombola!
Qual'è la probabilità che estraendo due numeri della tombola (che in tutto sono 90) la loro somma dia 56?
Provo a dare la mia prima dimostrazione sul forum (che sarà sicuramente sbagliata, però ci provo..)
I numeri la cui somma dà 56 sono:
$ 1+55;2+54;3+53;...;27+29 $
Sono quindi 27 le coppie di numeri la cui somma dà 56, ma funziona anche se i numeri vengono estratti "al contrario" (cioè prima il 55 poi l'1): quindi ci sono $ 27*2=54 $ possibilità.
La probabilità di estrarre il primo numero è $ \frac{1}{90} $ e quella di estrarre il secondo numero è $ \frac{1}{89} $.
Quindi la probabilità di estrarre due numeri la cui somma dà 56 è
$ \frac{1}{90}*\frac{1}{89}*54=\frac{3}{445} $
I numeri la cui somma dà 56 sono:
$ 1+55;2+54;3+53;...;27+29 $
Sono quindi 27 le coppie di numeri la cui somma dà 56, ma funziona anche se i numeri vengono estratti "al contrario" (cioè prima il 55 poi l'1): quindi ci sono $ 27*2=54 $ possibilità.
La probabilità di estrarre il primo numero è $ \frac{1}{90} $ e quella di estrarre il secondo numero è $ \frac{1}{89} $.
Quindi la probabilità di estrarre due numeri la cui somma dà 56 è
$ \frac{1}{90}*\frac{1}{89}*54=\frac{3}{445} $
"Quando un uomo siede un'ora in compagnia di una bella ragazza, sembra sia passato un minuto. Ma fatelo sedere su una stufa per un minuto e gli sembrerà più lungo di qualsiasi ora. Questa è la relatività." (Albert Einstein)
Re: Esercizio facile. Tombola!
Fedecart ha scritto:Qual'è la probabilità che estraendo due numeri della tombola (che in tutto sono 90) la loro somma dia 56?
L'angolo del pignolo: il primo numero estratto viene rimesso dentro o no? (è buona norma specificare)
Bene, prendiamo un pentagono di [tex]$n$[/tex] lati...
Re: Esercizio facile. Tombola!
io l'ho risolto pensando che il primo numero venisse lasciato fuori...fede90 ha scritto:Fedecart ha scritto:Qual'è la probabilità che estraendo due numeri della tombola (che in tutto sono 90) la loro somma dia 56?
L'angolo del pignolo: il primo numero estratto viene rimesso dentro o no? (è buona norma specificare)
"Quando un uomo siede un'ora in compagnia di una bella ragazza, sembra sia passato un minuto. Ma fatelo sedere su una stufa per un minuto e gli sembrerà più lungo di qualsiasi ora. Questa è la relatività." (Albert Einstein)
Va beh, proviamo a risolverlo anche nel caso in cui il primo numero estratto venisse rimesso dentro..
Allora, adesso, le coppie di numeri la cui somma dà 56 non sono più $ 27 $ ma diventano $ 28 $ [si aggiunge la coppia $ 28+28 $(però questa non può essere considerata doppia, quindi le possibilità di estrarre due numeri la cui somma dia 56 sono $ 27*2+1 $].
La probabilità di estrarre il primo numero è $ \displaystyle\frac{1}{90} $ e quella di estrarre il secondo è $ \displaystyle\frac{1}{90} $.
Quindi la probabilità totale è $ \displaystyle\frac{1}{90}*\frac{1}{90}*55=\frac{11}{1620} $
è giusto?? per favore leggetelo e se è sbagliato o spiegato male ditemelo... è la mia prima dimostrazione sul forum..
Allora, adesso, le coppie di numeri la cui somma dà 56 non sono più $ 27 $ ma diventano $ 28 $ [si aggiunge la coppia $ 28+28 $(però questa non può essere considerata doppia, quindi le possibilità di estrarre due numeri la cui somma dia 56 sono $ 27*2+1 $].
La probabilità di estrarre il primo numero è $ \displaystyle\frac{1}{90} $ e quella di estrarre il secondo è $ \displaystyle\frac{1}{90} $.
Quindi la probabilità totale è $ \displaystyle\frac{1}{90}*\frac{1}{90}*55=\frac{11}{1620} $
è giusto?? per favore leggetelo e se è sbagliato o spiegato male ditemelo... è la mia prima dimostrazione sul forum..
"Quando un uomo siede un'ora in compagnia di una bella ragazza, sembra sia passato un minuto. Ma fatelo sedere su una stufa per un minuto e gli sembrerà più lungo di qualsiasi ora. Questa è la relatività." (Albert Einstein)
@ Fede90: Ma da quando si rimettono i numeri nel sacchetto in una tombola??? 
@ Bellaz: il problema è giusto ma così, per consiglio: se hai già contato i casi favorevoli, è conveniente contare i casi possibili e infine determinare la probabilità attraverso la definizione oppure fai una soluzione utilizzando solo i teoremi di probabilità senza passare al calcolo combinatorio
@ Bellaz: il problema è giusto ma così, per consiglio: se hai già contato i casi favorevoli, è conveniente contare i casi possibili e infine determinare la probabilità attraverso la definizione oppure fai una soluzione utilizzando solo i teoremi di probabilità senza passare al calcolo combinatorio
Ok, provo a risolverlo utilizzando i consigli di eli9o:eli9o ha scritto: @ Bellaz: il problema è giusto ma così, per consiglio: se hai già contato i casi favorevoli, è conveniente contare i casi possibili e infine determinare la probabilità attraverso la definizione oppure fai una soluzione utilizzando solo i teoremi di probabilità senza passare al calcolo combinatorio
avevo già calcolato che i casi favorevoli erano $ 54 $... Allora, i casi possibili sono $ \displaystyle\left(^{n}_{k}\right)=\frac{90!}{2!*88!}*2=89*90 $. Quindi se $ \displaystyle\ probabilità=\frac{casi favorevoli}{casi possibili} $, allora la probabilità di estrarre due numeri la cui somma dia 56 è $ \displaystyle\frac{54}{8010}=\frac{3}{445} $
Spero sia giusto...
"Quando un uomo siede un'ora in compagnia di una bella ragazza, sembra sia passato un minuto. Ma fatelo sedere su una stufa per un minuto e gli sembrerà più lungo di qualsiasi ora. Questa è la relatività." (Albert Einstein)
dovrebbe essere giusto...Bellaz ha scritto:Ok, provo a risolverlo utilizzando i consigli di eli9o:eli9o ha scritto: @ Bellaz: il problema è giusto ma così, per consiglio: se hai già contato i casi favorevoli, è conveniente contare i casi possibili e infine determinare la probabilità attraverso la definizione oppure fai una soluzione utilizzando solo i teoremi di probabilità senza passare al calcolo combinatorio
avevo già calcolato che i casi favorevoli erano $ 54 $... Allora, i casi possibili sono $ \displaystyle\left(^{n}_{k}\right)=\frac{90!}{2!*88!}*2=89*90 $. Quindi se $ \displaystyle\ probabilità=\frac{casi favorevoli}{casi possibili} $, allora la probabilità di estrarre due numeri la cui somma dia 56 è $ \displaystyle\frac{54}{8010}=\frac{3}{445} $
Spero sia giusto...
Non vorrei diventare antipatico: il risultato è giusto, c'è da fare solo una precisazione.
Diciamo che quando conti i casi possibili e favorevoli in problemi come questo si hanno 2 possibilità: possiamo fissare un ordine oppure non fissarlo. L'importante è deciderlo prima e fare allo stesso modo per i casi favorevoli e quelli possibili. Quando utilizzi i coefficienti binomiali non fissi l'ordine di estrazione quindi non lo dovresti fare nemmeno nei casi favorevoli.
Però i casi possibili sono $ \displaystyle2\binom{n}{k}=\frac{90!}{2!*88!}*2=89*90 $ che in genere non si indicano così ma sono le disposizioni semplici...
Spero possa esserti utile (dato che è la tua prima dimostrazione)
Ciao
Diciamo che quando conti i casi possibili e favorevoli in problemi come questo si hanno 2 possibilità: possiamo fissare un ordine oppure non fissarlo. L'importante è deciderlo prima e fare allo stesso modo per i casi favorevoli e quelli possibili. Quando utilizzi i coefficienti binomiali non fissi l'ordine di estrazione quindi non lo dovresti fare nemmeno nei casi favorevoli.
Poi tu, giustamente, hai moltiplicato per 2 e in questo modo hai differenziato i possibili ordinamenti quindi il problema risulta giusto.bellaz ha scritto:i casi possibili sono $ \displaystyle\left(^{n}_{k}\right)=\frac{90!}{2!*88!}*2=89*90 $
Però i casi possibili sono $ \displaystyle2\binom{n}{k}=\frac{90!}{2!*88!}*2=89*90 $ che in genere non si indicano così ma sono le disposizioni semplici...
Spero possa esserti utile (dato che è la tua prima dimostrazione)
Ciao
Non diventi antipatico, al contrario... Essere corretti vuol dire imparare cose nuove... Solo una cosa non ho capito.
Cosa vuol dire quello in grassetto?[/u]eli9o ha scritto: Però i casi possibili sono $ \displaystyle2\binom{n}{k}=\frac{90!}{2!*88!}*2=89*90 $ che in genere non si indicano così ma sono le disposizioni semplici...
"Quando un uomo siede un'ora in compagnia di una bella ragazza, sembra sia passato un minuto. Ma fatelo sedere su una stufa per un minuto e gli sembrerà più lungo di qualsiasi ora. Questa è la relatività." (Albert Einstein)
Re: Esercizio facile. Tombola!
Ti giuro il problema non specificava! Però era a risposta multipla e se lo fai sbagliato l'altra risposta non c'era nemmeno... Quindi hai ragione anche tu ad essere pignolo! Comunque io ho pensato ed indovinato che a tombola il numero pescato non si rimette dentro...! =)fede90 ha scritto:Fedecart ha scritto:Qual'è la probabilità che estraendo due numeri della tombola (che in tutto sono 90) la loro somma dia 56?
L'angolo del pignolo: il primo numero estratto viene rimesso dentro o no? (è buona norma specificare)
Comunque la risposta numerica che avete dato è giusta, e devo dire che ho anche imparato seguendo tutta l'evoluzione di questa discussione che ho postato! =)
Provo a rispondere a Bellaz, anche se io non sono proprio il più indicato in questo forum a fare lezioni di combinatoria...
Diciamo che noi vogliamo scegliere un certo numero di elementi all'interno di un insieme (in questo caso i numeri da 1 a 90). Vogliamo contare ad esempio quante sono le differenti possibili estrazioni di $ k $ numeri in un insieme di $ n $ numeri.
Se vogliamo considerare differenti le estrazioni che hanno come numeri estratti gli stessi numeri ma in ordine diverso (conta l'ordine) contiamo le disposizioni. Inoltre $ D_{n,k}=n(n-1)...(n-k+1) $. Questo è intuitivo se consideri che il primo numero può essere scelto tra $ n $ numeri, il secondo tra $ n-1 $ e così via.
Se invece vogliamo considerare uguali le estrazioni in cui gli stessi numeri sono stati estratti in ordine diverso (non conta l'ordine) contiamo le combinazioni (oppure i sottoinsiemi di $ k $ elementi di un insieme di $ n $ elementi). Per queste basta dividere il numero delle disposizioni n,k per il numero possibile di ordinamenti che ha una singola k-upla che sono $ k! $. Potrai facilmente verificare che così facendo ottieni la formula per calcolare i coefficienti binomiali.
Spero sia tutto chiaro, altrimenti chiedi e ci sarà qualcuno che ti saprà spiegare meglio di me... Comunque queste cose le trovi tutte in un libro di liceo del triennio.
Ciao
Diciamo che noi vogliamo scegliere un certo numero di elementi all'interno di un insieme (in questo caso i numeri da 1 a 90). Vogliamo contare ad esempio quante sono le differenti possibili estrazioni di $ k $ numeri in un insieme di $ n $ numeri.
Se vogliamo considerare differenti le estrazioni che hanno come numeri estratti gli stessi numeri ma in ordine diverso (conta l'ordine) contiamo le disposizioni. Inoltre $ D_{n,k}=n(n-1)...(n-k+1) $. Questo è intuitivo se consideri che il primo numero può essere scelto tra $ n $ numeri, il secondo tra $ n-1 $ e così via.
Se invece vogliamo considerare uguali le estrazioni in cui gli stessi numeri sono stati estratti in ordine diverso (non conta l'ordine) contiamo le combinazioni (oppure i sottoinsiemi di $ k $ elementi di un insieme di $ n $ elementi). Per queste basta dividere il numero delle disposizioni n,k per il numero possibile di ordinamenti che ha una singola k-upla che sono $ k! $. Potrai facilmente verificare che così facendo ottieni la formula per calcolare i coefficienti binomiali.
Spero sia tutto chiaro, altrimenti chiedi e ci sarà qualcuno che ti saprà spiegare meglio di me... Comunque queste cose le trovi tutte in un libro di liceo del triennio.
Ciao