Ciao a tutti!
Vagando in rete mi sono trovato di fronte a questo quesito:
calcolare la probabilità di avere almeno 4 consonanti consecutive in una stringa di 20 lettere, non per forza diverse tra loro, nell'alfabeto italiano ( $ 21^{20} $ stringhe possibili per intendersi).
Ho fatto una mezza soluzione ma non mi pare correttissima... Ora devo andare al lavoro, stasera sul tardi la stendo per bene e la posto, se qualcuno volesse aiutare nel frattempo, è il benvenuto.
Grazie a todos,
Alex
4 consonanti consecutive
Ciao, sono nuovo del forum e quindi provo a risolvere questo problema che mi sembra facile.
Allora, $ 4 $ lettere della sequenza devono essere consonanti e siccome abbiamo a disposizione $ 16 $ consonanti esistono $ 16^4 $ scelte possibili. Le restanti $ 16 $ lettere si possono scegliere in qualsiasi modo e quindi sono $ 21^{16} $ scelte.
In definitiva:
$ \displaystyle Probabilità=\frac{16^4\cdot21^{16}}{21^{20}}=\frac{16^4}{21^4} $
Qualcuno mi corregga se sbaglio...
Ciao!
P.s. Xalexalex, la tua soluzione è simile?
Allora, $ 4 $ lettere della sequenza devono essere consonanti e siccome abbiamo a disposizione $ 16 $ consonanti esistono $ 16^4 $ scelte possibili. Le restanti $ 16 $ lettere si possono scegliere in qualsiasi modo e quindi sono $ 21^{16} $ scelte.
In definitiva:
$ \displaystyle Probabilità=\frac{16^4\cdot21^{16}}{21^{20}}=\frac{16^4}{21^4} $
Qualcuno mi corregga se sbaglio...
Ciao!
P.s. Xalexalex, la tua soluzione è simile?
"Non ho particolari talenti, sono solo appassionatamente curioso." Albert Einstein
Scusate ma avevo messo nel dimenticatoio il thread 
La mia soluzione è questa:
$ 21^{20} $ sono le possibili stringhe.
Abbiamo 16 consonanti nell'alfabeto.
Nella posizione A (poniamo che sia la prima lettera della stringa) possiamo avere una qualsiasi delle 16 consonanti. Nella posizione B ne possiamo avere allo stesso modo una qualsiasi delle 16, però dobbiamo fare in modo che la posizione B sia effettivamente quella dopo la A, quindi aggiungiamo un fattore 19 al denominatore. Per le posizioni C e D aggiungiamo analogamente due fattori 16 al numeratore, e rispettivamente un fattore 18 e un fattore 17 al denominatore.
Siamo quindi a $ \frac{16^4}{21^{20} * 19 * 18 * 17} $
Siccome però i poker di lettere possono assumere 17 posizioni differenti, aggiungiamo un fattore 17 al numeratore.
Risultato finale $ p = \frac{16^4 * 17}{21^{20} * 19 * 18 * 17} = \frac{16^4}{21^{20} * 19 * 18} $ con eventuali successive semplificazioni...
C'acchiappa?
La mia soluzione è questa:
$ 21^{20} $ sono le possibili stringhe.
Abbiamo 16 consonanti nell'alfabeto.
Nella posizione A (poniamo che sia la prima lettera della stringa) possiamo avere una qualsiasi delle 16 consonanti. Nella posizione B ne possiamo avere allo stesso modo una qualsiasi delle 16, però dobbiamo fare in modo che la posizione B sia effettivamente quella dopo la A, quindi aggiungiamo un fattore 19 al denominatore. Per le posizioni C e D aggiungiamo analogamente due fattori 16 al numeratore, e rispettivamente un fattore 18 e un fattore 17 al denominatore.
Siamo quindi a $ \frac{16^4}{21^{20} * 19 * 18 * 17} $
Siccome però i poker di lettere possono assumere 17 posizioni differenti, aggiungiamo un fattore 17 al numeratore.
Risultato finale $ p = \frac{16^4 * 17}{21^{20} * 19 * 18 * 17} = \frac{16^4}{21^{20} * 19 * 18} $ con eventuali successive semplificazioni...
C'acchiappa?
ciao ale!
allora mi sono appena connesso e ho visto questo topic...
francamente $ \displaystyle \frac{16^4}{21^{20} \cdot 19 \cdot 18} $ è una possibilità enormemente piccola (pensaci un attimo!), mentre l'esperienza reale ci insegna che la probabilità di avere 4 consonanti consecutive su 20 lettere casuali dovrebbe (sottolineo dovrebbe: non ho ancora fatto calcoli!) essere superiore a $ \displaystyle \frac{1}{10} $
detto questo ora mi metto all'opera:
abbiamo $ \displaystyle \frac{16}{21} $ possibilità che una lettera in una posizione X sia una consonante...
...questo fatto deve accadere almeno 4 volte nelle quattro posizioni successive...
$ \displaystyle \Big({\frac{16}{21}\Big)^4} $
...e la posizione X può essere quindi situata in $ \displaystyle \frac{17}{21} $ posti differenti.
Mettendo tutto assieme:
$ \displaystyle p = \Big({\frac{16}{21}\Big)^4} \cdot \frac{17}{21} = \frac{(16)^4 \cdot 17}{(21)^5} $
Che sarebbe uguale a circa (molto circa!) $ \displaystyle \frac{1}{4} $ rendendo così il tutto (penso) verosimile (visto che pare che sei molto bravo a programmare puoi fare una prova! )!
1)Scusate se il mio LaTeX è bruttino ma sono alle prime armi!(EDIT:ora ho corretto tutto con \displaystyle!)
2)Gradirei che uno più esperto di me, mi dicesse se ho fatto giusto. Grazie!
allora mi sono appena connesso e ho visto questo topic...
francamente $ \displaystyle \frac{16^4}{21^{20} \cdot 19 \cdot 18} $ è una possibilità enormemente piccola (pensaci un attimo!), mentre l'esperienza reale ci insegna che la probabilità di avere 4 consonanti consecutive su 20 lettere casuali dovrebbe (sottolineo dovrebbe: non ho ancora fatto calcoli!) essere superiore a $ \displaystyle \frac{1}{10} $
detto questo ora mi metto all'opera:
abbiamo $ \displaystyle \frac{16}{21} $ possibilità che una lettera in una posizione X sia una consonante...
...questo fatto deve accadere almeno 4 volte nelle quattro posizioni successive...
$ \displaystyle \Big({\frac{16}{21}\Big)^4} $
...e la posizione X può essere quindi situata in $ \displaystyle \frac{17}{21} $ posti differenti.
Mettendo tutto assieme:
$ \displaystyle p = \Big({\frac{16}{21}\Big)^4} \cdot \frac{17}{21} = \frac{(16)^4 \cdot 17}{(21)^5} $
Che sarebbe uguale a circa (molto circa!) $ \displaystyle \frac{1}{4} $ rendendo così il tutto (penso) verosimile (visto che pare che sei molto bravo a programmare puoi fare una prova!
)!1)Scusate se il mio LaTeX è bruttino ma sono alle prime armi!(EDIT:ora ho corretto tutto con \displaystyle!)
2)Gradirei che uno più esperto di me, mi dicesse se ho fatto giusto. Grazie!
eh no... ti faccio un esempio semplficatore, che a parole sono incapace. Abbiamo una vocale A e una consonante C, una stringa di 5 lettere, di cui almeno quattro devono essere consonanti.pi ha scritto:Come dice Rigel ma *17..
Ciao!
Metodo Rigel-pi:
$ $\frac{1^4\cdot 2\cdot 2}{2^5}=\frac4{2^5} $
A mano:
casi favorevoli:
CCCCA
ACCCC
CCCCC
casi totali: $ 2^5 $
Soluzione: $ $\frac3{2^5} $
Per intenderci, hai contato 2 volte il caso CCCCC.
@gabri: i casi è un po' difficile che siano 17/21, un numero non intero... sostituisci con 17, e torni alla soluzione di pi.
La mia impressione è che questo esercizio sia tremendamente calcoloso, a meno di avere una bella idea (se esiste... forse l'unica strada sono i calcoli).
Btw, qual'è la fonte?
Ciao!!julio14 ha scritto:eh no... ti faccio un esempio semplficatore, che a parole sono incapace. Abbiamo una vocale A e una consonante C, una stringa di 5 lettere, di cui almeno quattro devono essere consonanti.pi ha scritto:Come dice Rigel ma *17..
Ciao!
Metodo Rigel-pi:
$ $\frac{1^4\cdot 2\cdot 2}{2^5}=\frac4{2^5} $
A mano:
casi favorevoli:
CCCCA
ACCCC
CCCCC
casi totali: $ 2^5 $
Soluzione: $ $\frac3{2^5} $
Per intenderci, hai contato 2 volte il caso CCCCC.
@gabri: i casi è un po' difficile che siano 17/21, un numero non intero... sostituisci con 17, e torni alla soluzione di pi.
La mia impressione è che questo esercizio sia tremendamente calcoloso, a meno di avere una bella idea (se esiste... forse l'unica strada sono i calcoli).
Btw, qual'è la fonte?
Mi ero accorto anche io che la soluzione era sbagliata anche perchè viene maggiore di 1 (come dici tu conto più volte un caso), comunque credo di avere l'idea giusta.
Dunque considera il caso in cui le prime 4 sono consonanti e le altre ciò che gli pare. $ \frac{(16^4*21^{16}}{21^{20}} $.. Immagina di traslare di una posizione le 4 consonanti verso destra. A questo punto se consideriamo di nuovo la prima posizione come se "ci possa essere una consonante" contiamo 2 volte una stessa sequenza perchè già prima c'era una consonante. Dunque ci manca da considerare il caso in cui nella prima c'è una vocale (e in tutte le altre 15 ciò che gli pare) dunque $ \frac{+(16^4*21^{15}*5)}{21^{20} } $ andando avanti così facendo fare salti di 1 alle 4 consonanti troviamo che la probabilità è $ \frac{16^4(21^{16}+5*21^{15}+5^2*21^{14}+...+5^{16})}{ 21^{20}} $ dove si è raccolto 16^4
Che viene circa 0.4..
Ho cercato di essere il più chiaro possibile..se volete chiedete pure..
Sì è un po' calcoloso me neanche troppo....
Ciao!!!
(no comment)
io a dir la verità avevo capito che era sbagliata semplicemente vedendo che il numeratore era maggiore del denominatore!julio14 ha scritto:eh no... ti faccio un esempio semplficatore, che a parole sono incapace. Abbiamo una vocale A e una consonante C, una stringa di 5 lettere, di cui almeno quattro devono essere consonanti.pi ha scritto:Come dice Rigel ma *17..
Ciao!
Metodo Rigel-pi:
$ $\frac{1^4\cdot 2\cdot 2}{2^5}=\frac4{2^5} $
A mano:
casi favorevoli:
CCCCA
ACCCC
CCCCC
casi totali: $ 2^5 $
Soluzione: $ $\frac3{2^5} $
Per intenderci, hai contato 2 volte il caso CCCCC.
Grazie per aver spiegato perchè!
hai perfettamente ragione.julio14 ha scritto:eh no... ti faccio un esempio semplficatore, che a parole sono incapace. Abbiamo una vocale A e una consonante C, una stringa di 5 lettere, di cui almeno quattro devono essere consonanti.pi ha scritto:Come dice Rigel ma *17..
Ciao!
Metodo Rigel-pi:
$ [tex] $
@gabri: i casi è un po' difficile che siano 17/21, un numero non intero... sostituisci con 17, e torni alla soluzione di pi.
sono stato accecato da un bel risultato e non ho ragionato!
PS:ho trovato in un forum la soluzione: se è giusta,era al di fuori delle mie possibilità...e di parecchio(è diversa anche da quella di pi)!
@pi: però così conti solo le stringhe dove a sinistra della quaterna ci sono solo vocali... mi butti via per esempio: ACCACCCC.......
Il problema della "calcolosità" dell'esercizio è questo: facciamo finta di avere solo la A e la C, la stringa è sempre di 20 lettere. L'esercizio è relativamente facile da risolvere, ci sono un bel po' di configurazioni di cui tener conto, ma neanche troppe. Ora inseriamo il fatto che abbiamo 5 vocali e 16 consonanti: fosse stato uguale il numero di vocali e consonanti, bastava moltiplicare il precedente risultato per 20 elevato a questo numero. Il problema è che alle varie configurazioni AC corrispondono numeri diversi di stringhe. In pratica, mettiamo di avere una stringa AC con x A e (20-x) C. A questa sequenza di vocali-consonanti corrispondono $ 5^x\cdot 16^{(20-x)} $. Solo che x è variabile, dovremmo calcolare quante stringhe AC hanno x=0, quante x=1... il che è già difficile. Dopodichè, calcoli, calcoli, calcoli.
Il problema della "calcolosità" dell'esercizio è questo: facciamo finta di avere solo la A e la C, la stringa è sempre di 20 lettere. L'esercizio è relativamente facile da risolvere, ci sono un bel po' di configurazioni di cui tener conto, ma neanche troppe. Ora inseriamo il fatto che abbiamo 5 vocali e 16 consonanti: fosse stato uguale il numero di vocali e consonanti, bastava moltiplicare il precedente risultato per 20 elevato a questo numero. Il problema è che alle varie configurazioni AC corrispondono numeri diversi di stringhe. In pratica, mettiamo di avere una stringa AC con x A e (20-x) C. A questa sequenza di vocali-consonanti corrispondono $ 5^x\cdot 16^{(20-x)} $. Solo che x è variabile, dovremmo calcolare quante stringhe AC hanno x=0, quante x=1... il che è già difficile. Dopodichè, calcoli, calcoli, calcoli.