OliForum Matematico

L'inverno è arrivato. Dato che la terra si congelerà , bisogna scavare abbastanza fosse nel cimitero in anticipo del numero di morti. La popolazione della città è di 1000 abitanti. Ogni persona ha la probabilità del 1% di morire durante l'inverno.

Qual'è il minimo numero di fosse che bisogna scavare per essere sicuri al 90% di averne scavate abbastanza?



Io non ho idea di come cominciare.


Rispondete perfavore

FONTE: ho trovato il problema in un libro intitolato 'IQ Puzzles'. Ogni problema ha una difficoltà da 1 a 5, e questa era tra gli unici 3 ad avere difficoltà 5 (su più di 600 problemi). Non sono ammesse calcolatrici. Comunque, sono un quindicenne che andrà al Cesenatico - mi è stato consigliato di dirlo, ma non ho ancora capito perchè

Dunque... proviamo (sono nuovo, quindi spero di non scrivere stupidaggini...)

La probabilità che una persona non muoia è del 99%...
La probabilità che 2 persone non muoiano è $ \frac{99^2}{100^2} $
La probabilità che 1 persona muoia e una no è $ \frac{1}{100}\cdot\frac{99}{100} $
La probabilità che n persone muoiano e (1000-n) no è $ (\frac{1}{100})^n\cdot(\frac{99}{100})^{1000-n}=(\frac{99^1000-n}{100^1000})^n $

Per qualche n intero quest'ultima quantità sarà maggiore o uguale al 90%...

Purtroppo non so come semplificare questo conto... ho appena iniziato le equazioni esponenziali...
Qualcuno più esperto che mi aiuta????

brrrr
vorrei solo sapere chi è che ha l'ha pensato una cosa del genere

ad ogni caso sia $ p $ la probabilità che muoia una persona tra le $ n $ "viventi" (nel nostro caso p=1% e n=1000), allora la probabilità che ne muoiano esattamente $ k \in [1,n] $ è $ p^k(1-p)^{n-k}\binom{n}{k} $. allora la probabilità che ne muoiano al massimo $ k $ è $ P=\sum_{i=0}^{k}{p^k(1-p)^{n-k}\binom{n}{k} $(tocchiamo tutte le cose a tiro ).
da qua l'unica condizione è $ P \le \frac{9}{10} $. sia $ k_0 $ il piu grande intero positivo che rende vera la disequazione. la soluzione vale $ k_0+1 $.

scusate ma non ho voglia di fare i conti..(che tra l'altro mi pare quasi impossibile "a mano")

jordan ha scritto: scusate ma non ho voglia di fare i conti..(che tra l'altro mi pare quasi impossibile "a mano")

il libro dice che ogni esercizio, teoricamente, può essere risolto senza calcolatrici in pochi minutii...scusa, e buona fortuna!

jordan ha scritto:la probabilità che ne muoiano al massimo $ k $ è $ P=\sum_{i=0}^{k}{p^k(1-p)^{n-k}\binom{n}{k} $

Uh?
In questa sommatoria la "i" dov'è?

Oblomov ha scritto:

jordan ha scritto:la probabilità che ne muoiano al massimo $ k $ è $ P=\sum_{i=0}^{k}{p^k(1-p)^{n-k}\binom{n}{k} $

Uh?
In questa sommatoria la "i" dov'è?

dai oh, un po di fantasia, $ P=\sum_{i=0}^{k}{p^i(1-p)^{n-i}\binom{n}{i} $

antosecret ha scritto: La probabilità che n persone muoiano e (1000-n) no è $ (\frac{1}{100})^n\cdot(\frac{99}{100})^{1000-n}=(\frac{99^1000-n}{100^1000})^n $

comunque devi ricordarti di moltiplicare per tutte le possibili permutazioni di queste mille persone, che equivale a

1000! / (n! (1000-n)!)

(mille su n)
(scusa non so usare latex)

Allora, se la probabilità di morire sarebbe stata del 100%, per essere sicuri al 90% di costruire si sarebbero dovute costruire 900 tombe, ora la probabilità è dell'1%, ne segue: 900 per 100%, e un "num. x" per l'1%, ne segue:

900:100=x:1, ne segue x=9, cioè si devono costruire 9 tombe.

L'ho buttata là così, sarà probabilmente sbagliata, però come dice il libro c'ho messo un paio di minuti

No, la soluzione corretta è quella indicata da jordan; ovvero noi cerchiamo un n tale che

$ \sum_{k=0}^{n}\frac{1000!}{k! \cdot (k-1)!} \cdot p^k \cdot q^{1000-k} >= 0,9 $ e che $ \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1000!}{k! \cdot (k-1)!} \cdot p^k \cdot q^{1000-k} < 0,9 $

in parole povere si tratta di sostituire a k nella prima sommatoria prima zero e poi i numeri interi crescenti, sommando ogni volta i risultati parziali di probabilità; quando arrivi a ottenere o superare 0,9, ti fermi: l'ultimo valore di k che hai utlizzato è il numero di fosse da scavare per essere "sicuri al 90 %" (è un po' un ossimoro) di averne scavate abbastanza.
Con un po' di noiosi calcoli si ottiene $ n = 14 $
Però ovviamente il libro non allude a questo metdo, quindi ci sono due possibilità: o esiste un metodo più semplice (che non è quello di k3v, perché già la sua premessa è sbagliata: se la probabilità di morire fosse del 100 % l'evento TUTTI MORTI sarebbe certo e tutti gli altri eventi impossinbili, e quindi non avrebbe senso parlare di probabilità di scavare un numero di tombe sufficienti), oppure il libro sbaglia o pone male il problema.

Se qualcun altro si è preso la briga di fare i conti, chiedo conferma del mio 14...

Credo si possa dire semplicemente che ogni persona ha l'1% di possibilità di morire, quindi la media delle persone morte sarà l'1% di 1000, cioè 10. Per essere al 90% sicuri di scavare il numero di tombe giuste si fa il 90% di 10, che è 9, come credo qualcun'altro abbia già detto in poche èarole prima di me. (Poi potrei essere completamente fuori strada!!) Potrei saperee che risultato da il libro?

Fedecart ha scritto:Per essere al 90% sicuri di scavare il numero di tombe giuste si fa il 90% di 10, che è 9

Questo ragionamento presuppone che scavando 10 fosse si sia sicuri al 100 %, cioè si abbia la CERTEZZA, di averne scavate abbastanza, cosa assurda, perché il numero esatto di morti non lo conosciamo e non abbiamo modo di conoscerlo; la probabilità media ti dà l'evento più probabile (in questo caso 10 morti), ma non l'evento CERTO. Per esempio in questo caso l'evento "10 morti", che è il più probabile in assoluto fra tutti quelli possibili, ha una probabilità di appena 12,57 %:

$ \frac{1000!}{10! \cdot 990!} \cdot {(\frac{1}{100}})^{10} \cdot {(\frac{99}{100}})^{990} = 0,1257 $

il risultato del libro è 14, quindi jordan aveva effettivamente ragione. penso che il libro si sia sbagliato dicendo che può essere risolto a mente in pochi minuti.

k3v ha scritto:Allora, se la probabilità di morire sarebbe stata del 100%, per essere sicuri...

Correttore automatico di MicrosoftWord ha scritto:Modo verbale incorretto.

Va beh che è un forum di Matematica, ma cerchiamo di non scriverle troppo grosse...