dimostrazione somma di coefficienti binomiali..

Conteggi, probabilità, invarianti, logica, matematizzazione, ...
Rispondi
Avatar utente
c89l
Messaggi: 47
Iscritto il: 24 nov 2007, 16:07
Località: Roma
Contatta:

dimostrazione somma di coefficienti binomiali..

Messaggio da c89l » 25 feb 2008, 23:14

Qualcuno potrebbe mostrarmi come si può dimostrare solo con il triangolo di tartaglia(senza binomio di Newton) che

2^n = $ n\choose 0 $ + $ n\choose 1 $ + $ \cdots $ + $ n\choose n $

Avatar utente
Ponnamperuma
Messaggi: 411
Iscritto il: 10 lug 2006, 11:47
Località: Torino

Messaggio da Ponnamperuma » 26 feb 2008, 01:05

Beh, si può fare per induzione, noto il significato combinatorico dei coefficienti binomiali... i.e.: dimostrare che un insieme con n elementi ha 2^n sottoinsiemi... :wink:
La grandezza dell'uomo si misura in base a quel che cerca e all'insistenza con cui egli resta alla ricerca. - Martin Heidegger

MIND torna!! :D

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4778
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da EvaristeG » 26 feb 2008, 10:10

Anche senza sapere cosa sia il coefficiente binomiale in combinatoria,ma sapendo solo che ogni elemento di una riga è la somma dei due sopra, si può dimostrare per induzione. Il passo base è facile:
$ {0\choose 0}=1=2^0 $
per il passo induttivo, ti faccio un esempio e ti lascio il compito di scrivere la dimostrazione come si deve:
supponiamo di sapere che per n=5 la tesi è vera, allora scriviamo
$ {6\choose 0}={5\choose 0} $
$ {6\choose 1}={5\choose 0}+{5\choose 1} $
$ {6\choose 2}={5\choose 1}+{5\choose 2} $
$ {6\choose 3}={5\choose 3}+{5\choose 4} $
e così via; dunque possiamo scrivere che
$ \displaystyle{\begin{array}{c@{+}c@{+}c@{+}c@{+}c@{+}c@{+}cl} {6\choose 0}&{6\choose 1}&{6\choose 2}&{6\choose 3}&{6\choose 4}&{6\choose 5}&{6\choose 6}&=\\ {5\choose0}&{5\choose 1}&{5\choose 2}&{5\choose3}&{5\choose 4}&{5\choose 5}&&\\ &{5\choose0}&{5\choose 1}&{5\choose 2}&{5\choose3}&{5\choose 4}&{5\choose 5}&\end{array}} $
dove abbiamo usato le relazioni di cui sopra scritte in colonna sotto ogni binomiale col 6. Sommando per righe, sappiamo che la seconda fa $ 2^5=32 $ come pure la terza, ma quindi la prima, che è somma di entrambe, fa $ 2\cdot2^5=2^6 $.
Ora prova tu a scrivere una dimostrazione rigorosa con quest'idea.

Avatar utente
pa
Messaggi: 81
Iscritto il: 14 feb 2008, 16:14
Località: Genova

Messaggio da pa » 26 feb 2008, 17:31

$ (a + b)^n = \Sigma{i\choose n}a^i b^{n-i} $
$ 2^n = (1+1)^n = \Sigma{i\choose n} $
paolo

Avatar utente
Ponnamperuma
Messaggi: 411
Iscritto il: 10 lug 2006, 11:47
Località: Torino

Re: dimostrazione somma di coefficienti binomiali..

Messaggio da Ponnamperuma » 26 feb 2008, 19:37

c89l ha scritto:... (senza binomio di Newton)...
:wink:
La grandezza dell'uomo si misura in base a quel che cerca e all'insistenza con cui egli resta alla ricerca. - Martin Heidegger

MIND torna!! :D

Avatar utente
pa
Messaggi: 81
Iscritto il: 14 feb 2008, 16:14
Località: Genova

Messaggio da pa » 26 feb 2008, 20:28

ops... :roll:
paolo

Avatar utente
c89l
Messaggi: 47
Iscritto il: 24 nov 2007, 16:07
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da c89l » 28 feb 2008, 14:30

Grazie Evariste.

Rispondi