Abbiamo un prisma, le cui due basi sono 2007-agoni regolari.
Ciascun lato delle due basi, e ciascun segmento che collega un vertice di una base a un vertice dell'altra, è colorato di blu o di verde.
Inoltre, in questa variopinta figura non compare nessun triangolo tutto blu o tutto verde.
Dimostrare che tutti i lati delle basi sono verdi, oppure che tutti i lati delle basi sono blu.
Prisma bluverde, triangoli monocromatici
è sicuro che è sbagliato quello che dico...perchè è troppo banale e perchè la domanda di Marco non avrebbe molto senso(a meno che non sia un hint).
Prendiamo un generico lato del 2007-agono di giù e chiamiamolo AB.Ora tiriamo le parallele per A e B al 2007-agono di su e chiamiamo i nuovi vertici C e D. Prendiamo il quadrilatero ABCD e vogliamo dimostrare che AB e CD hanno lo stesso colore. Poniamo(senza perdere generalità) AB verde e CD blu, allora le diagonali AC e BD devono essere di colori opposti altrimenti AOB o DOC violerebbe l'ipotesi, dove O è intersezione di AC e BD. Si vede facilmente che in qualsiasi modo coloriamo AD e BC l'ipotesi è violata. Dunque AB e CD hanno lo stesso colore. Ora consideriamo i lati successivi ad AB e CD nello stesso verso. Chiamiamo quello di giù BK e quello di su CH. Ora poniamo AB e CD blu,per quello che abbiamo dimostr prima si ha AD e CB o entrambi verdi o entrambi blu, e BK e di conseguenza CH verdi, con HK dello stesso colore di CB.Ora poniamo AD blu, dunque CB e HK blu,dunque AC,DB,BH e CK verdi: BO'K e CO'H,violano l'ipotesi dove O' è intersezione delle diagonali.Ora c è il caso in cui AD è verde che implica i colori degli altri lati e diagonali e costruendo giusto altri due nuovi segmenti che congiungono vertici,tra quelli già usati, dei due 2007-agoni si ha in breve contraddizione,e dunque i quattro lati sono dello stesso colore, e così via,transitivamente, chiudendo il 2007-agono che però poteva essere ovviamente a questo punto un generico n-agono.
è orrendo come tentativo di soluzione, mi sembra di aver fatto un sudoku....
Scusate....e fatemi sapere dove sta l'errore
Prendiamo un generico lato del 2007-agono di giù e chiamiamolo AB.Ora tiriamo le parallele per A e B al 2007-agono di su e chiamiamo i nuovi vertici C e D. Prendiamo il quadrilatero ABCD e vogliamo dimostrare che AB e CD hanno lo stesso colore. Poniamo(senza perdere generalità) AB verde e CD blu, allora le diagonali AC e BD devono essere di colori opposti altrimenti AOB o DOC violerebbe l'ipotesi, dove O è intersezione di AC e BD. Si vede facilmente che in qualsiasi modo coloriamo AD e BC l'ipotesi è violata. Dunque AB e CD hanno lo stesso colore. Ora consideriamo i lati successivi ad AB e CD nello stesso verso. Chiamiamo quello di giù BK e quello di su CH. Ora poniamo AB e CD blu,per quello che abbiamo dimostr prima si ha AD e CB o entrambi verdi o entrambi blu, e BK e di conseguenza CH verdi, con HK dello stesso colore di CB.Ora poniamo AD blu, dunque CB e HK blu,dunque AC,DB,BH e CK verdi: BO'K e CO'H,violano l'ipotesi dove O' è intersezione delle diagonali.Ora c è il caso in cui AD è verde che implica i colori degli altri lati e diagonali e costruendo giusto altri due nuovi segmenti che congiungono vertici,tra quelli già usati, dei due 2007-agoni si ha in breve contraddizione,e dunque i quattro lati sono dello stesso colore, e così via,transitivamente, chiudendo il 2007-agono che però poteva essere ovviamente a questo punto un generico n-agono.
è orrendo come tentativo di soluzione, mi sembra di aver fatto un sudoku....
Scusate....e fatemi sapere dove sta l'errore
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
Scusa è che ho scritto male il problema... per "triangoli" si intende triangoli i cui vertici sono anche vertici di uno dei due 2007-agoni.
Quindi quando prendi l'intersezione di AC e BD prendi una via troppo geometrica.
Comunque visto che ormai è passato abbastanza tempo metto una soluzione.
L'osservazione principale è che 2007 è dispari (che si può dimostrare vedendo che la sua ultima cifra è dispari) e che, colorando i nodi (o lati) di un 2007-agono con due colori, troviamo sempre due nodi (o lati) consecutivi dello stesso colore.
Se la tesi è falsa, in uno dei due poligoni possiamo trovare tre vertici consecutivi tali che AB è blu e BC è verde. Partiamo da qui.
Tra tutti i 2007 lati che partono da B e vanno dall'altra parte, per quanto detto prima ce ne sono due consecutivi (BX e BY) dello stesso colore. Senza perdita di generalità, questo colore è il blu.
Ora, BX e BY sono blu, quindi XY è verde.
BX e BA sono blu, quindi AX è verde.
BY e BA sono blu, quindi AY è verde.
AXY è monocromatico: assurdo.
Quindi quando prendi l'intersezione di AC e BD prendi una via troppo geometrica.
Comunque visto che ormai è passato abbastanza tempo metto una soluzione.
L'osservazione principale è che 2007 è dispari (che si può dimostrare vedendo che la sua ultima cifra è dispari) e che, colorando i nodi (o lati) di un 2007-agono con due colori, troviamo sempre due nodi (o lati) consecutivi dello stesso colore.
Se la tesi è falsa, in uno dei due poligoni possiamo trovare tre vertici consecutivi tali che AB è blu e BC è verde. Partiamo da qui.
Tra tutti i 2007 lati che partono da B e vanno dall'altra parte, per quanto detto prima ce ne sono due consecutivi (BX e BY) dello stesso colore. Senza perdita di generalità, questo colore è il blu.
Ora, BX e BY sono blu, quindi XY è verde.
BX e BA sono blu, quindi AX è verde.
BY e BA sono blu, quindi AY è verde.
AXY è monocromatico: assurdo.