un piano e 4 colori

[geda]

Ogni punto dello spazio è colorato con uno di 5 colori. Provare che esistono 4 punti coplanari con colori differenti.

[teppic]

Bisogna forse specificare che c'è almeno un punto di ogni colore.

[jim]

Riesumo questo vecchio problema. E' semplice, quindi spero non venga smontato subito da quelli bravi...
Lascio un piccolo hint per chi ne avesse bisogno:

Testo nascosto:

Provate ad adattare il problema a 2 dimensioni: ogni punto del piano è colorato con uno di 4 colori. C'è almeno un punto di ciascun colore. Provare che esistono 3 punti di diverso colore collineari.
Una volta dimostrato questo (semplicissimo), provate a fare un ragionamento simile in 3D (un po' meno immediato)...

[jim]

up! (ultima volta, poi la smetto di rompere..)

[ghiroz]

Provo a dare una risposta, che molto probabilmente sarà errata, visto che sbaglio quasi sempre...

Ho dimostrato ( o almeno credo xD), seguendo l'hint di Mike, che esistono almeno 3 punti collineari di colore diverso.
Per la dimostrazione richiesta dal problema, posso affermare che esisterà un piano contenente una retta del tipo menzionato prima e un punto di uno dei 2 colori restanti?
Sembra troppo banale come risposta, sicuramente ho sbagliato qualcosa ! xD

[paga92aren]

Se dimostri che esiste una retta con 3 colori diversi allora hai risolto il problema.
Infatti prendendo un punto di un quarto colore, il piano che passa per la retta e il punto ha quattro colori.
Posta la prima parte della dimostrazione.

[ghiroz]

Perfetto! E' quello che dicevo io!

La prima parte l'ho dimostrata in questo modo:

Prendiamo 4 punti nel piano di colore diverso e consideriamo le 2 rette passanti ciascuna per 2 di questi punti in modo tale che non siano parallele. Qualunque sarà il punto d'intersezione delle 2 rette questo sarà anche di colore diverso rispetto ai punti di una delle 2 rette

Va bene?

[paga92aren]

Come dimostrazione del hint va bene.
Ma hai ipotizzato di avere 4 punti colorati in modo diverso collineari e da questo hai dimostrato che esiste una retta colorata con 3 colori.
Non puoi usare l'esistenza di questa retta per dimostrare che in uno spazio esiste un piano 4 colorato.
Quindi riguarda il ragionamento che hai fatto sul piano e prova a rifarlo in 3 dimensioni

[ghiroz]

Certo, che stupido!

Ci provo.

[ghiroz]

Credo di averlo dimostrato. Speriamo bene ! xD


Chiamo i 5 colori A,B,C,D,E. Considero 2 piani : il primo passante per A,B e C, il secondo passante per C,D,E.
Questi , intersecandosi, formeranno una retta passante per il punto in comune C.
Suppongo che questa retta contenga soltanto punti di colore C, poiché se così non fosse, avremo finito.
Considero ora l'intersezione tra la retta passante per A e B, e la retta passante per infiniti punti di colore C.( Lo posso fare perché appartengono allo stesso piano).
Il punto d'intersezione di queste 2 rette dovrà essere a sua volta di colore C. Quindi abbiamo dimostrato che esiste nello spazio una retta passante per 3 punti di colore diverso. Per concludere il problema basta dire che esisterà anche un piano passante per questa retta e un punto esterno di colore diverso da A, B, e C.

[phi]

Quasi, mi sembra!

Considero ora l'intersezione tra la retta passante per A e B, e la retta passante per infiniti punti di colore C.( Lo posso fare perché appartengono allo stesso piano).

Qua direi che c'è un piccolo buco: quelle due rette non sono sghembe, d'accordo, ma nessuno impedisce loro di essere parallele, e addio intersezione.
D'altra parte, il caso in cui siano parallele si aggiusta (abbastanza) facilmente: come puoi completare la tua dimostrazione?

[ghiroz]

Sembrava troppo bello per essere vero ! xD

Allora, nel caso in cui le 2 rette( la retta passante per A e B, e la retta passante per D ed E) siano entrambe parallele alla retta passante per i punti di colore C, queste, saranno a loro volta contenute in un piano e parallele.
Questo piano avrà 4 punti di colore diverso.
Non riesco a giustificare bene questo fatto, che sembra abbastanza ovvio. Va bene così ?
Grazie comunque, per gli aiuti!

[jim]

ok a ghiroz.

Non riesco a giustificare bene questo fatto, che sembra abbastanza ovvio

Penso che in una gara questo fatto possa essere dato per noto...Cmq dai, non è difficile, prova a dimostrarlo (anche se qui è ot, perchè è geometria..).

Teorema:
Due rette parallele nello spazio sono complanari
Hint:

Testo nascosto:

Ragiona per assurdo, supponi che non lo siano, prendi due punti su una, uno sull'altra, e ragiona sul piano definito da quel triangolo..

[jim]

ok, faccio io quest'ultima parte..
r e s sono due rette parallele nello spazio
suppongo per assurdo che non esista un piano p tale che r e s appartengano entrambe a p
prendo A, B su r e C su s. Chiamo p' il piano definito dal triangolo ABC
chiamo s' la retta appartenente a p', passante per C e parallela ad r
s ed s' non dovranno essere la stessa retta, altrimenti si contraddirebbe l'ipotesi (assurda), quindi s ed s' dovranno essere rette distinte, e dal momento che passano entrambe per C, saranno due rette incidenti in C, dunque non saranno parallele.
Ma per ipotesi sappiamo che r // s e, per costruzione, r // s', dunque seguirà s // s'. contraddizione. assurdo. Fine.

[ghiroz]

Non avevo letto il tuo messaggio dell 11 Marzo! Comunque sì, effettivamente si poteva fare!