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Calcolare il numero di monomi (con coefficente 1) di grado minore o uguale a 4 nelle variabili x,y,z

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Io direi 35

giusto
avevo dimenticato di contare il caso (1,2,1) per il monomio di 4 grado

e mi sapreste dire un operazione per calcolarlo?

allora
puoi prendere in considerazone i cinque casi:
grado 0, una possibilità (tutti di grado 0)
grado 1, conti le permutazioni di (0,0,1) che sono tre
grado 2, conti le permutazioni di (0,2,0) e (0,1,1) che in tutto sono sei
grado 3, conti le permutazioni di (1,1,1), (1,2,0), (0,3,0) che in tutto sono dieci
grado 4, conti le permutazioni di (1,1,2), (3,1,0), (4,0,0), (2,2,0) che in tutto sono quindici
sommi il tutto : 35
chiaro?

Beh, per calcolare in generale quanti monomi di grado esattamente n esistono (con coeff. 1) nelle variabili $ x_1,\ldots, x_k $ basta calcolare quanti sono i modi di scrivere n come somma di k numeri naturali (eventualmente nulli) considerando due somme distinte se cambia l'ordine degli addendi.
Tali modi sono (perché?) $ {n+k-1\choose k-1} $.

EvaristeG ha scritto:Tali modi sono (perché?) $ {n+k-1\choose k-1} $.

Io conosco questo metodo per dimostrarlo (non so se sia l'unico) che mi sembra abbastanza semplice:

Partendo dalla prima variabile, si scrivono tante $ \displaystyle A $ quanto vale l'esponente di ogni variabile e poi una $ \displaystyle B $ quando si passa da una variabile all'altra.
In questo modo, ad esempio, il monomio $ \displaystyle a^3b^2d $ di grado 6 (nelle variabili a, b, c, d) si scriverebbe $ \displaystyle AAABAABBA $.
In questo modo riusciamo a scrivere ogni monomio di grado e variabili dati con una diversa stringa di lettere, formata in generale da tante $ \displaystyle A $ quanto è il grado $ \displaystyle n $ del monomio e tante $ \displaystyle B $ quante sono le $ \displaystyle k $ variabili meno una. Dunque in tutto $ \displaystyle n+k-1 $ caratteri.
A questo punto si considerano tutti modi di scegliere dove posizionare le $ \displaystyle B $ (che sono $ \displaystyle k-1 $) all'interno della stringa (ovvero si contano tutte le stringhe distinte), da cui $ \displaystyle {n+k-1\choose k-1} $

sì, certo.
ripeto, quel numero è anche il numero di modi in cui si può scrivere n come somma di k numeri naturali (ovvero positivi o nulli) tenendo conto dell'ordine.
La dimostrazione è la stessa: considero n+k-1 caselle in fila e ne coloro k-1; il primo addendo sarà il numero di caselle prima della prima colorata, il secondo le caselle tra la prima e la seconda colorata e così via. Nel tuo caso, gli addendi si ottengono contando le A.