strano binomiale... ma sarà sempre divisibile?

[salva90]

Dimostrare che per ogni primo $ ~p $e ogni intero positivo$ ~n $ si ha che
$ \displaystyle p^n|{p^n\choose{p}}-p^{n-1} $

garantisco che non è affatto difficile good work

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

ehm...ci provo...

$ \displaystyle {p^n \choose{p}} - p^{n-1} = p^{n-1} \left [ {p^n - 1 \choose{p - 1}} -1 \right] $

quindi devo dimostrare che $ \displaystyle {p^n - 1 \choose{p - 1}} -1 $ è divisibile per p


$ \displaystyle {p^n - 1 \choose{p - 1}} -1 = \frac{(p^n -1)(p^n-2) \cdots (p^n -p +1) - (p-1)!}{(p-1)!} \equiv $$ \displaystyle [(p-1)!]^{-1} \cdot [(-1)(-2) \cdots (-p+1) - (p-1)!] \equiv $$ \displastyle 1 \cdot [(p-1)! + 1] \equiv 0 \pmod p $

[salva90]

ehm...ci provo...

$ \displaystyle {p^n \choose{p}} - p^{n-1} = p^{n-1} \left [ {p^n - 1 \choose{p - 1}} -1 \right] $

why

[Carlein]

$ p^n|p^n!/p!(p^n-p)! -p^{n-1} $ semplificando:$ p^n!/(p^n-p)!=(pc-1)p^n $ poichè p per definizione non può dividere$ (pc-1) $ abbiamo$ (pc-1)/(p-1)!=(pf+1) $ per il solito teorema di wilson. ora $ (pf+1) p^{n-1} - p^{n-1}=p^nf $ spero non vi dispiaccia l'abbia risolto allo stesso modo di k su p ma mi sembra così sia veloce

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

perchè $ \displaystyle {n \choose{k}} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \frac{n}{k} \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} = \frac{n}{k} {n - 1 \choose{k-1}} $

[jordan]

$ \displaystyle \frac {p^n \cdot p^n-1 \cdot ... \cdot p^n-p+1}{p!}\equiv \frac {p^{n-1} (-1)^{p-1}(p-1)!}{(p-1)!}\equiv p^{n-1} \pmod {p^n} $se $ p>2 $
se$ p=2 $ allora $ \binom {2^n}{2}\equiv -2^{n-1} \equiv 2^{n-1}\pmod {2^n} $

facile, veloce e indolore

[Sesshoumaru]

perchè $ \displaystyle {n \choose{k}} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \frac{n}{k} \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} = \frac{n}{k} {n - 1 \choose{k-1}} $

Qui non torna:

$ \displaystyle \frac{n}{k} \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} = \frac{n}{k} {n - 1 \choose{k-1}} $

Dovrebbe essere:

$ \displaystyle \frac{n}{k} \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-(k-1))!} = \frac{n}{k} {n - 1 \choose{k-1}} $

per essere vero (e infatti penso proprio non lo sia)

[albert_K]

No sessho guarda bene perchè quell'uguaglianza è vera!

[Sesshoumaru]

No sessho guarda bene perchè quell'uguaglianza è vera!

Uh, già

Mi ero perso un -1