risoluzione grafica di un'equazione

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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angus89
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risoluzione grafica di un'equazione

Messaggio da angus89 » 02 dic 2007, 18:51

Allora...sò che ho sbagliato ad inserire qui questo problema ma non trovavo nessuna sezione più adatta...

Allora il mio testo mi chiede di determinare la soluzione di quest'equazione
$ \begin{displaymath} 2x^3-4x+1=0 \end{displaymath} $

Allora...prima che cominciate a trovare metodi complessi vi dico cosa mi richiede il testo

E' richiesta la soluzione grafica dell'esercizio, ovvero è sufficiente ricondurre tale equazione all'equazione di due curve e determinarne le\la intersezioni\e.

Ora vi spiego come ho ragionato io.

Allora basta fare qualche passaggio algebrico e riscrivere l'equazione...
Allora inanzitutto dividiamo per $ x $ osservando che $ x $ non è uguale a $ 0 $ dato che $ f(0) \ne 0 $ e quindi possiamo escludere $ 0 $ dale eventuali soluzioni

quindi otteniamo
$ \begin{displaymath}\\ 2x^3-4x+1=0\\ \\ 2x^2-4+\frac{1}{x}=0\\ \\ 2x^2=4-\frac{1}{x}\\ \\ 2x^2=\frac{4x-1}{x} \end{displaymath} $

a questo punto dividiamo l'equazione in due funzioni
$ \begin{displaymath}\\ y=2x^2\\ y=\frac{4x-1}{x} $
Notiamo che ci troviamo di fronte ad una parabola e ad una funzione omografica...
Disegnamo i grafici e cerchiamo di capire dove si trovano le soluzioni...

Allora per disegnare i grafici potete utilizzare questo sito
http://www.spiega.com/rez/

Io non riesco a disegnare con questo sito il grafico della funzione omografica quindi non posto le immagini...

Ho disegnato a mano i grafici...
Fatto sta che il mio testo mi dice che le soluzioni dell'equazione (ovvero le due funzioni hanno punti di intersezione) nei seguenti intervalli:

(-2;-1) e ci siamo

(0;1) per me è impossibile...dal disegno mi sembra chiaro che non ci sono punti di intersezione tra le funzioni in quell'intervallo

(1;2) e ci siamo anche qui

Allora...
O è sbagliata una soluzione o ho sbagliato io(cosa molto probabile) a fare qualche passaggio algebrico, a disegnare i grafici o in qualcos'altro...

Spero che qualcuno mi aiuti...
Grazie
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui

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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 02 dic 2007, 19:14

Ok, metto il grafico della funzione in allegato
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flexwifi
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Messaggio da flexwifi » 02 dic 2007, 19:34

Puoi anche vedere l'equazione come $ \displaystyle2x^3=4x-1 $ cioè come l'intersezione di una cubica con una retta. In questo caso è evidente che l'equazione ha 3 soluzioni nell'intervalli che ti diceva il testo come puoi vedere dall'immagine che metto in allegato.

Bye
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Russell
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Messaggio da Russell » 02 dic 2007, 19:41

Secondo me conviene studiare $ \displaystyle x^3=2x-\frac{1}{2} $
Avrai visto la cubica chissà quante volte, e la retta è immediata da tracciare.
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angus89
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Messaggio da angus89 » 02 dic 2007, 20:35

grazie a tutti!!!
davvero esaustive le spiegazioni!!!
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