quesito banale

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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bestiedda
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quesito banale

Messaggio da bestiedda » 27 nov 2007, 14:28

per quali valori interi positivi di a l'espressione (a^2 + 3a)/(3a+2) equivale ad un numero intero
marco

geda
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Re: quesito banale

Messaggio da geda » 27 nov 2007, 15:49

bestiedda ha scritto:per quali valori interi positivi di a l'espressione (a^2 + 3a)/(3a+2) equivale ad un numero intero
Per $ a=1 $ e $ a=2 $ non si ha soluzione. Consideriamo allora $ a>2 $ e supponiamo che $ \frac{a^2+3a}{3a+2}=k $, con $ k $ intero maggiore o uguale a 1. Allora

$ a(a+3)=k(3a+2) $.

Poiche' il primo membro e' divisibile per $ a $, lo deve essere anche il secondo, quindi $ k $ deve essere della forma $ k=na $, con $ n $ intero maggiore o uguale a 1. ($ 3a+2 $ non e' divisibile per $ a $). Quindi

$ a(a+3)=na(3a+2) $, cioe' $ a+3=n(3a+2) $.

Ora $ 3a+2>a+3 $ gia' per $ a>\frac{1}{2} $ e quindi anche se $ n $ fosse uguale a 1 non ci potrebbe essere nessun $ a $ intero maggiore di 2 che soddisfa la tesi.

Ho preso un'abbaglio?

Ciao

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FrancescoVeneziano
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 27 nov 2007, 16:33

$ \ \frac{4^2+3\cdot 4}{3\cdot 4+2}=\frac{28}{14}=2 $
Sbagli quando dici che $ \ 3a+2 $ non è divisibile per $ \ a $, quindi $ \ k $ deve esserlo. Infatti $ \ a $ potrebbe non essere un numero primo e quindi potrebbe dividere il prodotto $ \ k(3a+2) $ senza per questo dividere nessuno dei due fattori. Nell'esempio che ho fatto 4 divide 2*14 ma non divide 2 né 14.
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FeddyStra
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Messaggio da FeddyStra » 27 nov 2007, 19:52

Devo avere $ \displaystyle \frac {a^2+3a}{3a+2} \in Z $.
Il denominatore non è mai divisibile per 3, quindi la frazione è un numero intero se e solo se lo è il suo triplo, ovvero $ \displaystyle \frac {3a^2+9a}{3a+2} $.
Ma $ \displaystyle \frac {3a^2+9a}{3a+2}=a+\frac{7a}{3a+2} $ è intero se e solo se lo è $ \displaystyle \frac{7a}{3a+2} $.
Come prima, il denominatore non è mai divisibile per 3, quindi la frazione è un numero intero se e solo se lo è il suo triplo, ovvero $ \displaystyle \frac{21a}{3a+2} $.
Ma $ \displaystyle \frac{21a}{3a+2}=7-\frac{14}{3a+2} $ è intero se e solo se lo è $ \displaystyle \frac{14}{3a+2} $.
Quindi $ 3a+2 $ deve essere un divisore di $ 14 $.
I divisori di $ 14 $ sono $ -14,-7,-2,-1,1,2,7,14 $, da cui $ a $ deve essere:
$ \displaystyle \frac{-14-2}3 $: non va bene
$ \displaystyle \frac{-7-2}3=-3 $: va bene
$ \displaystyle \frac{-2-2}3 $: non va bene
$ \displaystyle \frac{-1-2}3=-1 $: va bene
$ \displaystyle \frac{1-2}3 $: non va bene
$ \displaystyle \frac{2-2}3=0 $: va bene
$ \displaystyle \frac{7-2}3 $: non va bene
$ \displaystyle \frac{14-2}3=4 $: va bene
In conclusione $ a $ può essere $ -3 $, $ -1 $, $ 0 $ o $ 4 $.

EDIT:
Non avevo visto positivi. :roll:
Quindi solo $ 4 $.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]

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jordan
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Messaggio da jordan » 27 nov 2007, 21:52

sentite questa

$ (a^2 + 3a, 3a +2)=(3(a^2+3a)-a(3a+2), 3a+2)= $$ (7a,3a+2)=(a-4, 3a+2) $ ma $ 3a+2>a-4 $ se a in N da cui unica soluzione a=4
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picax
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Messaggio da picax » 12 dic 2007, 22:23

qualcuno mi può chiarire la parte in grassetto?

Il denominatore non è mai divisibile per 3, quindi la frazione è un numero intero se e solo se lo è il suo triplo.

grazie..

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jordan
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Messaggio da jordan » 12 dic 2007, 22:40

se $ \frac {a}{b} \in Z $ e $ b \equiv x \pmod p $ con $ x \in (1,2,3...p-1) $ allora anche $ \frac {ap}{b}\in Z $
Ultima modifica di jordan il 12 dic 2007, 22:49, modificato 1 volta in totale.
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picax
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Messaggio da picax » 12 dic 2007, 22:44

mmm forse ho capito
(mi riferisco sempre alla frase in grassetto)

per es. 5/3 è una frazione (non è intero) ma moltiplicando per 3 (cioè 3*5/3) si ottiene un numero intero

solo nel caso in cui il denominatore non è divisibile per 3, pur moltiplicando per 3 la frazione rimane come in partenza (intero o non intero).

per es. 10/5 è intero e 3*10/5 è anche intero
10/7 non è intero e nemmeno 3*10/7 è intero

giusto?
scusate l'ignoranza ma sono i primi problemi che vedo di questo tipo

picax
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Messaggio da picax » 12 dic 2007, 22:49

jordan ha scritto:se $ \frac {a}{b} \in Z $ e $ a\equiv 0 \pmod p $ e $ b \equiv x \pmod p $ con $ x \in (1,2,3...p-1) $ allora anche $ \frac {ap}{b}\in Z $
non capisco una cosa.

a deve essere per forza congruo 0 (mod p)?

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