Quadrato a cifre ripetute.

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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ttommy8488
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Quadrato a cifre ripetute.

Messaggio da ttommy8488 » 18 ott 2007, 00:25

Sono un po in difficolta con questo problema:

Trova il piu piccolo intero tale che ripetendo le sue cifre due volte si ottiene un quadrato. ( cioe' 123 --> 123123, 5646--> 56465646)

albert_K
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Messaggio da albert_K » 18 ott 2007, 01:30

i numeri di composti da una stringa di n cifre ripetuta due volte (in totale 2n cifre) sono tutti gli interi $ $m(10^n+1)$ $ dome m è un qualsiasi intero di n cifre.
11 e 101 son primi, 1001=7*11*13 (e quindi non esistono interi di tre cifre che dividano tutti quei tre), 10001=73*137 (stesso discorso), 100001 = 11 × 9091 (idem con patate),1000001 = 101 × 9901 (vedi sopra), 10000001 = 11 × 909091 (non sono autistico, sto usando Factoris), 100000001 = 17 × 5882353, 1000000001 = 7 × 11 × 13 × 19 × 52579, 10000000001 = 101 × 3541 × 27961, 100000000001 = 11^2 × 23 × 4093 × 8779 ...... uhm qui l'11 compare due volte quindi posso considerare il numero 23*4093*8779 = 826446281 di 9 cifre; ora mi basta moltiplicare tale numero per il più piccolo quadrato (ma minore di 11^2) tale da aumentare di due le sue cifre. Scopro facilmente che tale quadrato è 4^2 e $ $ m = 13223140496 = 4^2 \cdot 23\cdot 4093 \cdot 8779 $ è quindi il minore intero che soddisfa quella proprietà. Per la cronaca, $ $ \sqrt{1322314049613223140496}= 36363636364 $ $.




Senza computer non so proprio come si possa fare. :? :? :?
[tex] wHy \matchal{ALBERT}_K ? [/tex]

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jordan
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Messaggio da jordan » 18 ott 2007, 01:42

azz! eroarrivatto alla settima cifra da solo!io e la mia calcolatrice(che nn fattorizza!!)!! a 10000001= 11 * 909091 ma qui miero arreso! dopo un'ora e mezza persa di sonno! nn vale usare quel programma!

sarebbe un problema olimpico questo??

ttommy8488
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Messaggio da ttommy8488 » 18 ott 2007, 10:29

grazie mille per la risp. e' lo stesso ragionamento che ho fatto io... speravo pero' in una risoluzione senza l'uso di calcolatrice e\o brutta forza.

no, e' un problema che mi e' stato assegnato nella prima settimana all'uni.

albert_K
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Messaggio da albert_K » 18 ott 2007, 11:54

sadici.... :?
[tex] wHy \matchal{ALBERT}_K ? [/tex]

ttommy8488
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Messaggio da ttommy8488 » 18 ott 2007, 15:28

ho trovato un modo per redere il tutto piu elegante e non avere fattorizzazioni inutili, piu tardi lo posto se ho tempo.

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