Dimostrare che, per ogni intero $ $x $, il numero $ $x^2+5x+16 $ non è divisibile
per 169.
cese 90 5
Provo a risolverlo senza l'uso di teoremi particolari e congruenze varie. Quindi probabilmente sbaglierò 
:
Per assurdo suppongo che x^2 + 5x + 16 sia divisibile per 169, dunque esisterà un k intero tale che:
x^2 + 5x + 16 = 169*k
Da studente un po' tardo, calcolo il delta di questa equazione:
d = 25 - 64 + 676*k
Affinchè si abbiano degli x interi, d deve essere un quadrato perfetto (per altro dispari), per cui impongo:
676*k - 39 = a^2
13(52*k - 3)= a^2
Dunque in parentesi deve comparire almeno un fattore 13, ma poichè ad un multiplo di 13 (52k) si sottrae 3, ciò è impossibile.
Di qui, l'assurdo e la th è dimostrata.
Per una soluzione più rigorosa rinvio a chi, al contrario di me, conosca congruenze mod 13 e residui quadratici.
:Per assurdo suppongo che x^2 + 5x + 16 sia divisibile per 169, dunque esisterà un k intero tale che:
x^2 + 5x + 16 = 169*k
Da studente un po' tardo, calcolo il delta di questa equazione:
d = 25 - 64 + 676*k
Affinchè si abbiano degli x interi, d deve essere un quadrato perfetto (per altro dispari), per cui impongo:
676*k - 39 = a^2
13(52*k - 3)= a^2
Dunque in parentesi deve comparire almeno un fattore 13, ma poichè ad un multiplo di 13 (52k) si sottrae 3, ciò è impossibile.
Di qui, l'assurdo e la th è dimostrata.
Per una soluzione più rigorosa rinvio a chi, al contrario di me, conosca congruenze mod 13 e residui quadratici.
ummagumma grazie per la soluzione!
$ $(x-4)^2=169k-13x $
$ $(x-4)^2=13(13k-x) $
in modulo 13 il secondo membro deve essere uguale a 0 e quindi anche $ $(x-4)^2 $ deve essere uguale a 0 da ciò $ $x-4 \equiv 0 (13) \Rightarrow x \equiv 4 (13) $
adesso andiamo nella parentesi $ $(13k-x) $ notiamo che il primo membro dell'equazione è un quadrato e quindi anche nel $ $(13k-x) $ deve esserci un 13 che però è impossibile.
jordan, è così
$ $(x-4)^2+13x=169k $jordan ha scritto:$ (x-4)^2 + 13x $
$ $(x-4)^2=169k-13x $
$ $(x-4)^2=13(13k-x) $
in modulo 13 il secondo membro deve essere uguale a 0 e quindi anche $ $(x-4)^2 $ deve essere uguale a 0 da ciò $ $x-4 \equiv 0 (13) \Rightarrow x \equiv 4 (13) $
adesso andiamo nella parentesi $ $(13k-x) $ notiamo che il primo membro dell'equazione è un quadrato e quindi anche nel $ $(13k-x) $ deve esserci un 13 che però è impossibile.
jordan, è così
Appassionatamente BTA 197!