Andiamo subito al sodo: Quanti sono gli $ n $, $ 2000 \leq n \leq 2010 $ tali che
$ [ \frac{\sqrt2}{4}(1+ \sqrt2 )^n ] $
e' divisibile per 7? ([x] indica il valore intero di x)
valore intero
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darkcrystal
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- Località: Chiavari
Okok ecco una possibile soluzione...
$ [ \frac{\sqrt2}{4}(1+ \sqrt2 )^n ]=[ \frac{\sqrt2}{4}(1+ \sqrt2 )^n - \frac{\sqrt2}{4}(1-\sqrt2)^n+\frac{\sqrt2}{4}(1-\sqrt2 )^n] $$ =[a_n+\frac{\sqrt2}{4}(1-\sqrt2 )^n]=a_n $ dove la successione a_n è definita come segue:
$ a_0=0, a_1=1, a_{n+1}=2a_n+1 $.
Per dimostrare la roba di cui sopra, notiamo che la prima parte è una serie per ricorrenza lineare con dipendenza da due termini precedenti, mentre la seconda parte, per n abbastanza "grande" è piuttosto "piccola" (dato che è proporzionale circa a -0.41^n, che è piccolo... si vede che sto facendo fisica?)
Perciò alla fin fine viene $ 7|a_n $ che, con una semplice induzione che come minimo avrò sbagliato, è $ n \equiv 0 \pmod 6 $ (il che, btw, vuol dire che la risposta alla nostra domanda è 2...)
Sempre tutto modulo errori,
ciao!
$ [ \frac{\sqrt2}{4}(1+ \sqrt2 )^n ]=[ \frac{\sqrt2}{4}(1+ \sqrt2 )^n - \frac{\sqrt2}{4}(1-\sqrt2)^n+\frac{\sqrt2}{4}(1-\sqrt2 )^n] $$ =[a_n+\frac{\sqrt2}{4}(1-\sqrt2 )^n]=a_n $ dove la successione a_n è definita come segue:
$ a_0=0, a_1=1, a_{n+1}=2a_n+1 $.
Per dimostrare la roba di cui sopra, notiamo che la prima parte è una serie per ricorrenza lineare con dipendenza da due termini precedenti, mentre la seconda parte, per n abbastanza "grande" è piuttosto "piccola" (dato che è proporzionale circa a -0.41^n, che è piccolo... si vede che sto facendo fisica?)
Perciò alla fin fine viene $ 7|a_n $ che, con una semplice induzione che come minimo avrò sbagliato, è $ n \equiv 0 \pmod 6 $ (il che, btw, vuol dire che la risposta alla nostra domanda è 2...)
Sempre tutto modulo errori,
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"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
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