Somme di potenze di 4

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Jacobi
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Somme di potenze di 4

Messaggio da Jacobi » 21 set 2007, 12:46

vi propongo questo problema che ho creato a scuola mentre la prof spiegava petrarca 8) :

Trovare tutti gli interi n per cui esistono infinite n-uple $ (x_1, \dots, x_n ) $ tali che:

$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{4^{x_i}} $e' un quadrato perfetto.

( vi avverto che nn so se il problema e' o no elementare)
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darkcrystal
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Messaggio da darkcrystal » 21 set 2007, 17:05

Dunque, buffa congettura (piever ™)... se e solo se n è congruo a 0 o 1 modulo 3.

Tentiamo di dimostrarla. Sia $ a^2 = \sum 4^{x_i} $ Modulo 3, viene $ n \equiv a^2 $, dunque n NON è congruo a 2 modulo 3.

Lemma. Se c'è una n-upla, ce ne sono infinite: infatti basta aumentare tutti gli esponenti di uno per moltiplicare il risultato per 4, il che ovviamente dà un nuovo quadrato perfetto.

Resta quindi da dimostrare che ce n'è una. Voglio usare solo 1 e 2 (ossia, dimostrare che c'è una n-upla tale che $ x_i = 1 \mbox{ o } 2 \mbox{ } \forall i $). Usiamo k valori uguali a 1, e gli altri uguali a 2.

Si ha allora $ 16(n-k)+4k=a^2 \rightarrow 4(4n-3k)=a^2 $. 4 è un quadrato, (4n-3k) prende tutti i valori congrui a 4n mod 3 e compresi tra n e 4n, e lì in mezzo ci sarà pure un quadrato... (basta prendere $ \lfloor \sqrt{n} \rfloor +1 $ e $ \lfloor \sqrt{n} \rfloor +2 $, e poi controllare i casetti piccoli a mano)

Tutto sempre modulo errori vari.

Bye :) !
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein

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