Somma di quattro quadrati

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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sqrt2
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Somma di quattro quadrati

Messaggio da sqrt2 » 17 set 2007, 16:39

Dimostrare che ogni naturale si può scrivere come somma di alpiù quattro quadrati perfetti.

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mod_2
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Re: Somma di quattro quadrati

Messaggio da mod_2 » 17 set 2007, 17:33

sqrt2 ha scritto: come somma di alpiù
ma questo alpiù significa che posso usare anche solo tre o due quadrati o il numero deve per forza essere la somma dei 4 quadrati perfetti...?
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jordan
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Messaggio da jordan » 17 set 2007, 17:45

5=1+1+1+1+1+1?????
o intendi che se scritto come somma di un numero minimo di quadrati tale numero sia minore o uguale a 4???

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 17 set 2007, 18:11

Credo voglia dire che: dato un numero $ n $ naturale esistono sempre 4 numeri $ a,b,c,d $ naturali tali che
$ n=a^2+b^2+c^2+d^2 $

albert_K
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Messaggio da albert_K » 17 set 2007, 18:12

Credo che intendesse citare un importante teorema (Lagrange ... ) secondo il quale ogni numero naturale può essere espresso come somma di quattro quadrati.

quel 'al più' possiamo trascurarlo considerando lo $ $ 0^2 $ $.

Detto questo, io conosco una dimostrazione che fa uso di concetti come i quaternioni... mi chiedo invece se esista una via olimpica!
[tex] wHy \matchal{ALBERT}_K ? [/tex]

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mod_2
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Messaggio da mod_2 » 17 set 2007, 18:37

albert_K ha scritto:Credo che intendesse citare un importante teorema (Lagrange ... ) secondo il quale ogni numero naturale può essere espresso come somma di quattro quadrati.
Penso che sia questo:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_de ... o_quadrati
http://www.mat.uniroma3.it/users/fontan ... ap_3-4.pdf
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salva90
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Messaggio da salva90 » 17 set 2007, 18:40

mi pare che sul davenport ci sia una soluzione abbastanza elegante di questo bel fatto 8)
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]

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Poliwhirl
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Re: Somma di quattro quadrati

Messaggio da Poliwhirl » 17 set 2007, 20:28

sqrt2 ha scritto:Dimostrare che ogni naturale si può scrivere come somma di alpiù quattro quadrati perfetti.
Ah... sere perugine spese in questo... sul blocchetto di Az... :D
Facili domande aggiuntive:
Bonus Question I: Dimostrare che non è possibile scrivere ogni numero naturale come somma di al più tre quadrati.
Bonus Question II: Trovare un'infinità di numeri naturali che non è possibile scrivere come somma di al più tre quadrati.

Bye,
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Re: Somma di quattro quadrati

Messaggio da Agi_90 » 17 set 2007, 20:45

Poliwhirl ha scritto: Facili domande aggiuntive:
Bonus Question I: Dimostrare che non è possibile scrivere ogni numero naturale come somma di al più tre quadrati.
Bonus Question II: Trovare un'infinità di numeri naturali che non è possibile scrivere come somma di al più tre quadrati.
Questo è facile,

I) $ x^2 \equiv 0,1,4 \pmod{8} $

quindi non è possibile ottenere tutti i numeri $ y \equiv 7 \pmod{8} $

II) tutti i numeri della forma $ 8k + 7 $ :lol:
[url]http://www.agiblog.it/[/url]
Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"

Stoppa2006
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Messaggio da Stoppa2006 » 18 set 2007, 01:24

Sulla somma di 3 quadrati:

viewtopic.php?t=7971

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