Ha fatto 40, farà 41!

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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FeddyStra
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Ha fatto 40, farà 41!

Messaggio da FeddyStra » 13 set 2007, 18:12

1) Trovare tutte le soluzioni intere non negative di $ \displaystyle 41=2^n-3^m $.

2) Trovare tutte le soluzioni intere non negative di $ \displaystyle 41=3^n-2^m $.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]

albert_K
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Messaggio da albert_K » 13 set 2007, 19:23

il primo mi pare non abbia soluzioni perchè

$ $$ 41 = 32 + 9 = 2^n - 3^m $$ $
$ $$ 2^n - 32 = 3^m + 9 $$ $
$ $$ 2^5 (2^{n-5}-1) = 3^2 (3^{m-2}+1) $$ $

ma sarebbe $ $$ 2^5 | 3^{m-2} + 1 $$ $ che è falso per ogni $ $ m $ $, basta provare un po' di potenze di $ $3$ $ modulo $ $$ 2^5 $$ $.


Per il secondo ci devo pensare un po' di più
[tex] wHy \matchal{ALBERT}_K ? [/tex]

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mod_2
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Messaggio da mod_2 » 13 set 2007, 20:38

secondo me, anche nel secondo caso non ci sono delle soluzioni...
$ 41=3^n-2^m $
raccogliendo mi viene
$ 2^5(1+2^{m-5})=3^2(3^{n-2}-1) $
noto che $ 2^5 $ non divide $ 3^2 $ per cui deve dividere $ (3^{n-2}-1) $
e quindi
$ 3^{n-2} \equiv 1 (32) \Rightarrow ord_{32}(3)|31 \quad e \quad ord_{32}(3)|n-2 $
noto che 31è un numero primo e quindi il MCD tra n-2 e 31 può essere solo o 1 o 31, si vede subito che 1 è assurdo resta quindi il caso $ ord_{32}(3)|31 $
che è $ 3^{31} \equiv 1(32) $
applico modulo 4 e noto che
$ 3^{2k} \equiv 1(4) $
$ 3^{2k+1} \equiv 3(4) $
e quindi in modulo 4:
$ 3^{31}=32x+1 $
$ 3=0+1 \quad (4) $
che è assurdo!
sono le prime volte che utilizzo queste tecniche (ordine,teorema di Fermat...) , per cui può darsi che io abbia sbagliato tutto, per tanto qualcuno più esperto di me potrebbe confermare o eventualmente correggere... :?:
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salva90
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Messaggio da salva90 » 13 set 2007, 21:24

mod_2 ha scritto:ord_{32}(3)|31
casomai dividerà 16 :?
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mod_2
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Messaggio da mod_2 » 13 set 2007, 21:55

:oops: ecco lo sapevo che avrei sbagliato...
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l'Apprendista_Stregone
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Messaggio da l'Apprendista_Stregone » 13 set 2007, 23:44

Mi pare di averlo già visto tra le prove di accesso alla Normale di un po' di anni fa.
Si chiedeva di dimostrare che le due equazioni non avessero soluzione tra gli interi positivi, quindi...

Alex89
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Messaggio da Alex89 » 14 set 2007, 09:28

Nel secondo caso basta vedere che:
1)$ 3^n \equiv 41 (4) $ ossia che $ 3^n \equiv 1 (4) $ da cui n è pari.
2)$ -2^m \equiv 41 (3) $ ossia che $ -2^m \equiv 2 (3) $ da cui
$ 2^m \equiv 1 (3) $ e quindi anche m è pari.
Se m=2k e n=2h avremo

$ 3^n-2^m=41 \Rightarrow (3^h-2^k)(3^h+2^k)=41 $. Quindi 41 ha due divisori che differiscono tra loro di una potenza di 2. Poichè gli unici divisori di 41 sono 1 e 41 (con segno positivo e negativo) e in ogni caso nn differiscono di una potenza di 2, non avremo soluzioni.

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mod_2
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Messaggio da mod_2 » 14 set 2007, 11:48

che stupido che sono stato.....e io che andavo a fare tutti quei passaggi(sbagliati...)
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Ponnamperuma
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Messaggio da Ponnamperuma » 15 set 2007, 15:36

La grandezza dell'uomo si misura in base a quel che cerca e all'insistenza con cui egli resta alla ricerca. - Martin Heidegger

MIND torna!! :D

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