TST: Romania 2007

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Jacobi
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TST: Romania 2007

Messaggio da Jacobi » 29 ago 2007, 22:05

Dimostrare che la funzione $ f:N \rightarrow Z $ definita da $ f(n) = n^{2007}-n! $ e' iniettiva.
Questo problema nn e' facile, quindi nn consiglio a chi sta alle prime armi.
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marco-daddy
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Messaggio da marco-daddy » 30 ago 2007, 09:23

Dunque
Mettiamo che $ m^{2007}-m!=n^{2007}-n! $ con $ $m>n>1 $
(n=1 non da soluzioni)

Riscrivo $ m^{2007}-n^{2007}=m!-n! $

Sia p un primo che divide n
se $ 2007\geq n $

$ 2007\leq v_p(LHS)=v_p(n!)\leq v_p(2007!)<2007 $

Assurdo

Se $ 2007<m,n $

$ m^{2007}\equiv n^{2007}\ \forall \ p<2007 $

Quindi $ m\equiv n\ (\bmod \ p) $ $ \forall \ p $ t.c. $ (p-1,2007)=1 $

$ 2007<m-n $

Da qui è facile capire che l' Rhs è un pò sovrabbondante, infatti

$ $RHS>n!(m(m-1)\dots(m-2007)-1)> $$ $2007!(m(m-1)\dots(m-2006))= $
$ $\prod_{i=0}^{2006}(m-i)(i+1)\geq m^{2007}>LHS $

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Marco
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Messaggio da Marco » 07 set 2007, 00:51

marco-daddy ha scritto:Sia p un primo che divide n
se $ 2007\geq n $

$ 2007\leq v_p(LHS)=v_p(n!)\leq v_p(2007!)<2007 $
Questa non l'ho capita. Me la spieghi meglio?
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marco-daddy
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Messaggio da marco-daddy » 08 set 2007, 20:39

Poichè p|m e p|n

$ $ 2007\leq v_p(LHS) $

inoltre

$ $ v_p(2007!)=\sum_{i=1}^{\infty}\lfloor{\frac{2007}{p^i}\rfloor}<2007 $

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