Quando P(x)/Q(x) è intero?

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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meditans
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Quando P(x)/Q(x) è intero?

Messaggio da meditans » 27 ago 2007, 12:28

Chiedo venia anticipata per la domanda... ;)

Detti P(x) e Q(x) due polinomi a coefficienti reali (razionali, interi) esiste un metodo per calcolare tutti i valori dell'incognita per cui $ $P(x)/Q(x)\in N$ $?

Il caso di $ $P(x)=a$ $ lo conosco e possiamo assumere che $ $deg(Q(x)) > deg(P(x))$ $ (altrimenti faremmo una divisione euclidea e ci ricondurremmo a questo caso).

Rispondetemi prima del nostro incontro a Pisa :twisted:
meditans

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meditans
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Messaggio da meditans » 29 ago 2007, 17:51

Faccio subito un esempio...

Come trovo tutti i valori di $ $x$ $ per cui $ $\frac{3x+2}{2x^2+5x-7}$ $ è intero senza fare ragionamenti del tipo $ $3x+2>2x^2+5x-7$ $?

Magari così mi sono spiegato un poco più chiaramente :D
meditans

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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 29 ago 2007, 19:02

Non capisco una cosa...ma perchè la disuguaglianza non la vuoi fare? Che ti stanno antipatiche? :D

Ad esempio in questo caso ti permettono di trovare un intervallo che se supponi $ x \in \mathbb{N} $ puoi anche controllare a mano se vanno bene o no...

piever
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Messaggio da piever » 29 ago 2007, 19:11

Temo di non esserti di grande aiuto, ma onestamente direi che non è un problema banale. Tuttavia, come mi pare tu abbia intuito, quando il coefficiente del termine di grado più alto di Q(x) è 1, si può fare la divisione tra polinomi e ridursi a deg(Q(x))<deg(P(x)) e vedere che ottieni un intero solo un numero finito di volte...

Per quanto riguarda il caso Q(x)=c (con c costante intera) e P(x) a coefficienti interi, se il rapporto è intero per deg(P(x))+1 valori interi consecutivi di x, allora è intero sempre...

Di più non so dirti...
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Sherlock
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Messaggio da Sherlock » 29 ago 2007, 19:21

EUCLA ha scritto:Ad esempio in questo caso ti permettono di trovare un intervallo che se supponi $ x \in \mathbb{N} $ puoi anche controllare a mano se vanno bene o no...

be questo andrebbe bene per intervalli finiti e aggiungerei impropriamente piccoli...però in realtà non è mai stato detto che $ x \in \mathbb{N} $
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edgar89
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Messaggio da edgar89 » 30 ago 2007, 17:06

Sherlock ha scritto:
EUCLA ha scritto:Ad esempio in questo caso ti permettono di trovare un intervallo che se supponi $ x \in \mathbb{N} $ puoi anche controllare a mano se vanno bene o no...

be questo andrebbe bene per intervalli finiti e aggiungerei impropriamente piccoli...però in realtà non è mai stato detto che $ x \in \mathbb{N} $
tra l'altro penso che x, se i coefficienti sono razionali/irrazionali e distinti tra loro (cioè non si possono mettere in evidenza fattori e semplificare) la x deve essere reale per "eliminare" la parte irrazionale/razionale che sia...
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