Radici p-esime

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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marco-daddy
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Radici p-esime

Messaggio da marco-daddy » 24 ago 2007, 19:54

Sia $ $ p $ un primo dispari e sia $ $\zeta $ una radice primitiva $ $p $-esima dell'unità.
Sia $ A_p $ l'insieme dei residui quadratici (escluso lo 0) e $ B_p $ l'insieme dei residui non quadratici modulo $ $p $.
Sia infine

$ $\alpha = \sum_{k\in A_p}\zeta^k $ $ $\beta=\sum_{k\in B_p}\zeta^k $

Dimostrare che $ $ \alpha $ e $ $\beta $ sono le radici di

$ $x^2+x+\frac{1-\left(\frac{-1}{p}\right)p}{4}=0 $


Per chi non conoscesse il simbolo di Legendre

$ $\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}} $
Ultima modifica di marco-daddy il 31 ago 2007, 11:47, modificato 5 volte in totale.

pic88
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Messaggio da pic88 » 24 ago 2007, 20:17

Corollario: p=-1.

Dim. Posto $ {\zeta = 1} $ abbiamo $ {\alpha + \beta =p} $, ma per le formule di Viète $ {\alpha + \beta =-1} $. Dove sbaglio?

Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 24 ago 2007, 20:46

pic88 ha scritto:Corollario: p=-1.
Dove sbaglio?
p deve essere un primo
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pic88
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Messaggio da pic88 » 24 ago 2007, 20:54

Jacobi ha scritto:
pic88 ha scritto:Corollario: p=-1.
Dove sbaglio?
p deve essere un primo
Per quello si ottiene una contraddizione!!!! :?

EDIT: Ah, comunque... http://it.wikipedia.org/wiki/Corollario

marco-daddy
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Messaggio da marco-daddy » 24 ago 2007, 21:16

scusa pic88

$ $\zeta $ è una radice primitiva :wink:

darkcrystal
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Messaggio da darkcrystal » 31 ago 2007, 10:09

Non ho molto tempo, però...
Mmmmh... $ \alpha + \beta = \sum_{k=0}^{p-1} \zeta^k=\frac{\zeta^p-1}{\zeta-1}=0 $, quindi deduco che lo zero sia escluso... in tal caso $ \alpha+\beta=\frac{\zeta^p-1}{\zeta-1}-\zeta^0=0-1=-1 $
Ops finito il mio tempo... a dopo per il prodotto, ciao!
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Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 31 ago 2007, 19:57

pic88 ha scritto:Per quello si ottiene una contraddizione!!!! :?
EDIT: Ah, comunque... http://it.wikipedia.org/wiki/Corollario
Scusate, avevo letto in fretta..., nn c'era bisogno di bombardare cosi'... :cry:
(ho notato solo oggi il post di pic88 :lol: )
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darkcrystal
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Messaggio da darkcrystal » 01 set 2007, 11:19

Dunque, il prodotto. Intendo qui che prendo i come $ \sqrt{-1} $.

Si ha $ \displaystyle \sum_{0 \leq k \leq p-1} \left(\frac{t}{p}\right) \zeta^t=\sqrt{p} $ o $ i \sqrt{p} $ (a seconda del simbolo di legendre di -1 su p) in virtù della http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_Gauss_sum; inoltre, $ \displaystyle \sum_{0 \leq k \leq p-1} \left(\frac{t}{p}\right) \zeta^t $ è uguale ad a-b: infatti se $ \displaystyle k \in A_k $ il termine viene preso con il segno più e viceversa. Perciò abbiamo, in definitiva, $ \displaystyle \sqrt{\left(\frac{-1}{p}\right)}\sqrt{p}=a-b \Rightarrow $$ \displaystyle \sqrt{\left(\frac{-1}{p}\right)}\sqrt{p}=a-(-1-a)=2a+1 \Rightarrow a $$ \displaystyle =\frac{\sqrt{\left(\frac{-1}{p}\right)}\sqrt{p}-1}{2} \Rightarrow b=\frac{-\sqrt{\left(\frac{-1}{p}\right)}\sqrt{p}-1}{2} $ da cui, infine, $ \displaystyle ab=\frac{1-\left(\frac{-1}{p}\right)p}{4} $, c.v.d.

Ciao!
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Messaggio da darkcrystal » 01 set 2007, 20:10

Boh evidentemente me lo sono sognato... mi sembrava ci fosse un messaggio di marco che chiedeva di dimostrare la somma di gauss... come che sia, qui c'è la sostanza della dimostrazione (nota, non è una mia invenzione... purtroppo):

$ \displaystyle (\sum \left(\frac{n}{p}\right)e^{\frac{2\pi i}{p}n})^2=(\sum \left(\frac{s}{p}\right)e^{\frac{2\pi i}{p}s})(\sum \left(\frac{t}{p}\right)e^{\frac{2\pi i}{p}t}) $$ \displaystyle =\sum_{s,t} \left(\frac{st}{p}\right)e^{\frac{2\pi i}{p}(s+t)} $.
Sia $ n=s^{-1}t \pmod p $
$ \displaystyle \sum_{s,n} \left(\frac{s^2n}{p}\right)e^{\frac{2\pi i}{p}s(1+n)} $$ \displaystyle =\sum \left(\frac{n}{p}\right) \sum_s e^{\frac{2\pi i}{p}s(1+n)} $.
L'ultima somma fa -1 (geometrica) per tutti gli n, salvo -1 (mod p), per cui fa p-1. Perciò la cosa diventa $ \displaystyle =\left(\frac{-1}{p}\right)p-\sum_{s} \left(\frac{s}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)p $ perchè l'ultima somma è ovviamente zero (ci sono tanti residui quanti non residui).
Ciao!
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Messaggio da marco-daddy » 02 set 2007, 08:25

darkcrystal ha scritto:Boh evidentemente me lo sono sognato... mi sembrava ci fosse un messaggio di marco che chiedeva di dimostrare la somma di gauss...
Si, poi ho cambiato idea :D :wink:

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Messaggio da Marco » 07 set 2007, 00:39

marco-daddy ha scritto:
darkcrystal ha scritto:Boh evidentemente me lo sono sognato... mi sembrava ci fosse un messaggio di marco che chiedeva di dimostrare la somma di gauss...
Si, poi ho cambiato idea :D :wink:
Un mio messaggio???
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Messaggio da salva90 » 08 set 2007, 16:13

Marco ha scritto:
marco-daddy ha scritto:
darkcrystal ha scritto:Boh evidentemente me lo sono sognato... mi sembrava ci fosse un messaggio di marco che chiedeva di dimostrare la somma di gauss...
Si, poi ho cambiato idea :D :wink:
Un mio messaggio???
marco daddy non credo si chiami geronimo, sai :lol:
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