equazioncina con le incognite ai denominatori

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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salva90
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equazioncina con le incognite ai denominatori

Messaggio da salva90 » 23 ago 2007, 09:42

Dai, questo è veramente facilotto :wink:

Sia data l'equazione

$ \displaystyle \frac1x+\frac1y=\frac1p $

con x, y, p interi.
Le soluzioni (x, y) e (y, x) sono da considerarsi distinte.

a) Provare che se p è primo allora si hanno esattamente 3 soluzioni

b) trovare il numero di soluzioni per p intero generico

good work
:wink:

EDIT: interi positivi
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marco-daddy
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Messaggio da marco-daddy » 23 ago 2007, 10:00

\tau(p^2)...dopo aver eliminato i denominatori aggiungi p^2 da entrambe le parti e raccogli
Ultima modifica di marco-daddy il 23 ago 2007, 10:17, modificato 1 volta in totale.

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czap
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Messaggio da czap » 23 ago 2007, 10:01

se p = 0 le soluzioni sono infinite !

x = 0 oppure y = 0 (o entrambi = 0)

... ;)
Perché nella vita quotidiana "vediamo" così tanta materia e così poca antimateria ?
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marco-daddy
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Messaggio da marco-daddy » 23 ago 2007, 10:03

czap ha scritto:se p = 0 le soluzioni sono infinite !

x = 0 oppure y = 0 (o entrambi = 0)

... ;)
:shock: :shock: :shock:

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Zoidberg
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Messaggio da Zoidberg » 23 ago 2007, 10:05

Io i vari zeri li escluderei a priori... o no? :shock: :?
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando dell'associazione "Matematici per la messa al bando del Sudoku" fondata da fph" fondata da Zoidberg

Paolz
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Messaggio da Paolz » 23 ago 2007, 10:39

1) Svolgendo ottengo $ yp+xp=xy $, portando al secondo membro ho $ xy-xp-yp=0 $ e sommando $ p^2 $ da entrambe le parti ho $ xy-xp-yp+p^2=p^2 $, raccogliendo a sinistra ho $ (x-p)(y-p)=p^2 $.
p è primo, quindi le terne di fattori interi che danno $ p^2 $ sono $ p^2 $ e 1, $ p $ e $ p $, 1 e $ p^2 $.
Pongo un sistema con i fattori a sinistra - $ (x-p) $ e $ (y-p) $ - uguali ai possibili fattori a destra. Ho quindi tre soluzioni.


2) Azzardo - e per ora mi fermo a $ N^+ $
Se l'intero è scomponibile in primi tutti diversi, cioè p=abc.. con p intero, per ottenere le scelte del primo fattore, da cui dipende poi il secondo, devo sommare, detto n il numero dei fattori primi diversi, le combinazioni di n classe 1, di n classe 2...fino a quelle di n classe n-1, e a questi devo aggiungere 1 e il numero stesso, non contati.
Se un fattore si ripete, faccio come prima ma tengo conto della ripetizione nel calcolo

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czap
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Messaggio da czap » 23 ago 2007, 12:55

Zoidberg ha scritto:Io i vari zeri li escluderei a priori... o no? :shock: :?
anch'io ! ma non c'è scritto ;)
Perché nella vita quotidiana "vediamo" così tanta materia e così poca antimateria ?
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bruno222
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Messaggio da bruno222 » 23 ago 2007, 13:08

scusate ma io per il primo caso ho trovato più di tre soluzioni :

$ \ x=y=4, x=y=6 ,...... $ e in genere tutti gli $ x=y= 2p $ poi le coppie $ x=3 , y=6 $ e $ x=6 , y=3 $

marco-daddy
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Messaggio da marco-daddy » 23 ago 2007, 13:16

@bruno222: il problema chiede quante sono gli (x,y) che vanno bene con p fissato...ora tu hai trovata una soluzione: (2p,2p) devi dimostrare che ce ne sono solo altre due per ogni p :wink:

@czap:
czap ha scritto:
Zoidberg ha scritto:Io i vari zeri li escluderei a priori... o no? :shock: :?
anch'io ! ma non c'è scritto ;)
Questa è teoria dei numeri non ci inventiamo cose strane del tipo $ \frac{1}{0} $!! :)

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Noemi91x
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Messaggio da Noemi91x » 23 ago 2007, 14:16

per P=primo
sapendo che x>p e y>p -->x=p+r,y=p+z
(p+r)(p+z)=p(2p+r+z)-->sviluppando-->p^2+rp+zp+zr=2p^2+rp+zp-->rz=p^2
quindi o a=b=p oppure una dei due numeri fra a e b è 1 e a l'altro è p^2
praticamente da qui si possono ricavare le sol (2p,2p);(p+1,p^2+p);(p^2+p,p+1)

per ora nn mi viene in mente altro,quando sto meglio ci ripenso

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bruno222
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Messaggio da bruno222 » 23 ago 2007, 14:59

grazie marco-daddy non avevo capito bene il testo ......

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czap
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Messaggio da czap » 23 ago 2007, 15:00

marco-daddy ha scritto:@bruno222: il problema chiede quante sono gli (x,y) che vanno bene con p fissato...ora tu hai trovata una soluzione: (2p,2p) devi dimostrare che ce ne sono solo altre due per ogni p :wink:

@czap:
czap ha scritto:
Zoidberg ha scritto:Io i vari zeri li escluderei a priori... o no? :shock: :?
anch'io ! ma non c'è scritto ;)
Questa è teoria dei numeri non ci inventiamo cose strane del tipo $ \frac{1}{0} $!! :)
non vorrei sembrare pedante, perché di solito non lo sono :) , ma quando studiavo mi hanno insegnato che le diverse "ipotesi" di cui è costituito un problema vanno indicate esplicitamente, e non "dedotte" dalla forma in cui il problema viene presentato; tanto per fare un esempio, dove dice "con x, y, p interi" si escludono quelli < 0 ? scritto così non direi ... EDIT: ora ho visto l'edit ! :) sia detto col massimo dello spirito colloquiale e senza nessun intento offensivo (nei forum non si sa mai ... si fa presto ad essere fraintesi !)
Perché nella vita quotidiana "vediamo" così tanta materia e così poca antimateria ?
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alberto.ravagnani

Messaggio da alberto.ravagnani » 23 ago 2007, 15:43

Ora l'edit ha chiarito tutto ma...
Credo che in aritmetica la scrittura $ \frac{a}{0} $ con $ a\neq 0 $ si consideri "impossibile", senza possibilità di appello..
Non è come in analisi matematica, in cui (se $ a\neq 0 $) $ \frac{a}{0}=\infty $ (chiedo ovviamente scusa per l'abuso del simbolo di uguaglianza e per l'omissione del limite).

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jordan
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Messaggio da jordan » 26 ago 2007, 17:21

requestion

trovare tutte le soluzioni intere (x, y, z) dell'equazione

1/x +1/y = 1/z


anche questo è facile..

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