miscellanea 103 II ed.

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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mod_2
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miscellanea 103 II ed.

Messaggio da mod_2 » 22 ago 2007, 15:51

Siano $ x, y, z $ degli interi tali che $ {1 \over x} - {1 \over y} = { 1 \over z} $. Sia $ M $ il massimo comun divisore di $ x, y, z $. Si dimostri che $ Mxyz $ e $ M(y-x) $ sono dei quadrati.

(spero solo di aver messo il topic nel posto giusto...)

Hammond
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Messaggio da Hammond » 22 ago 2007, 21:49

Poniamo $ x=Ma $, $ y=Mb $, $ z=Mc $.
Il testo si riscrive come $ c(b-a) = ab $, con $ (a, b, c)=1 $, la tesi come $ M^4abc $ e $ M^2(b-a) $ quadrati, ovvero $ abc $ e $ (b-a) $ quadrati.
Notiamo anche che le due condizioni sono equivalenti: si può vedere scrivendo il testo come $ c^2(b-a) = abc $.
Possiamo quindi dimostrarne solo una, facciamo abc.
Abbiamo $ bc - ca = ab $, dunque nessun intero può dividere solo uno tra $ a $, $ b $ e $ c $, ma d'altra parte nessun intero li divide tutti e tre (il loro MCD è 1), per cui ogni fattore compare esattamente due volte nel prodotto $ abc $. Fine.

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